Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Техника безопасности.

Цель работы.

Определение скорости пули при помощи крутильного баллистического маятника на основании использо­вания законов сохранения энергии и момента импульса.

Оборудование.

Темы для изучения.

 
 

В лабораторной работе рассмотрены основные физические поня­тия и законы, на которых основан принцип действия крутильного баллистического маятника, получена рабочая формула для определе­ния скорости пули с помощью этого прибора, приведено описание экспериментальной установки и порядок работы на ней.

Лабораторная работа предназначена для студентов, выполняю­щих общий физический практикум в лаборатории механики кафедры экспериментальной физики ТРУ.

 

Основные понятия и законы

1.1. Момент силы. Пусть на массу m, положение которой относительно точки О задается радиусом-вектором действует сила F (рис.1). Тогда моментом си­лы F относительно точки О называется вектор , определяемый произведением

 
 

(1)

 

Момент сил относительно оси равен составляющей вдоль этой оси вектора момента силы относительно какой-либо точки, лежащей на той же оси.

1.2. Момент импульса. Пусть материальная точка , положение которой относительно точки О о пределяется радиусом-вектором , движется со ско­ростью (рис.2). Тогда момент импульса этой точки относи­тельно О определяется как векторное произведение

(2)

 

Моментом импульса системы материальных точек называет­ся вектор , равный век­торной сумме моментов им­пульса всех точек системы относительно того же начала. Момент

импульса относительно оси представля­ет собой

составляющую вдоль этой оси вектора момента им­пульса относительно любой точки, принадлежащей оси.

1.3. Момент инерции. Момент инерции относительно некоторой оси вращения есть физическая величина, которая характе­ризует инерционные свойства тела при его вращении вокруг этой оси. Пусть материальная точка с массой , отстоящая от оси на рас­стоянии , совершает вращение вокруг этой оси (рис. 3). Момент инерции точки относительно этой оси равен скалярной ве­личине

(3)

 
 

Момент инерции системы материальных точек определяется суммой

(4)

Как видно из (4), момент инерции тела относительно оси характеризует распреде­ление масс относительно этой оси. Если представить твердое тело как систему с непрерывным распределением масс, то вычисление момента инерция сводится к вычислению интеграла


  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛАСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК  

 

(5)

в котором r - расстояние от элемента массы dm до оси враще­ния. Интегрирование должно производиться по всей массе тела.

Как следует из определения, момент инерции имеет смысл относительно определенной оси. Существует теорема Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно некоторой произвольной оси (ℐ) равен сумме двух слагаемых; момента инерции отно­сительно оси, параллельной исходной, но проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями ( ):

(6)

1.4. Закон сохранения момента импульса. Пользуясь определени­ем момента сил и момента импульса точки, нетрудно показать, что эти величины связаны между собой важным соотношением, которое имеет вид:

(7)

 
 

Это уравнение получило в механике название уравнения моментов. Оно утверждает, что производная по времени от момента импульса равна моменту действующей силы относительно того же начала. Это уравне­ние справедливо и для системы материальных точек, только под в этом случае нужно иметь в виду сумму моментов внешних сил , поскольку сумма моментов внутренних сия, действующих в системе, равна нулю. Поэтому для твердого тела как системы материальных то­чек уравнение (7) принимает вид

(8)

Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным, которые могут быть получены путем его проектирования на координатные оси. В слу­чае вращения твердого тела вокруг закрепленной оси, координатные оси можно выбрать таким образом, чтобы одна из них совпадала с осью вращения тела. Тогда, спроектировав векторное уравнение (8) на это направление, можно получить уравнение моментов относительно соот­ветствующей неподвижной оси. Если момент внешних сил относительно этой оси окажется равным нулю, то момент импульса тела относительно той же оси должен оставаться постоянным. Это утверждение сос­тавляет содержание закона сохранения момента импульса.

Запишем закон сохранения момента импульса в несколько иной форме. Для этого рассмотрим твердое тела как систему материальных точек, совершающих вращение вокруг неподвижной оси с угловой ско­ростью . Тогда момент импульса тела по величине равен

(9)

 

и уравнение моментов принимает вид:

(10)

Из последнего соотношения следует, что если величина момента внеш­них сил относительно оси вращения равна нулю, то враща­тельный импульс тела относительно этой оси остается пос­тоянным.

1.5. Закон сохранения энергии утверждает, что в системе с консервативными силами (силы, зависящие от конфигурации системы; работа этих сил по любому замкнутому контуру равна нулю) полная энергия системы остается неизменной. Могут происходить лишь прев­ращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может.

 

Описание

2.1. Установка состо­ит из крутильного маятника и пружинной пушки. Схемати­чески крутильно-баллистический маятник представляет собой пассивное тело со зна­чительным моментом инерции, подвешенное на упругой нити (рис.4). По горизонтально­му стержню могут перемещать­ся два груза (M) вблизи концов стержня закрепляют­ся чашечки (D), в которые при выстреле попадает пуля. В результате попадания пули в пластин­ку D маятник отклоняется от положения равновесия.

 

Кинетическая энергия маятника начинает постепенно переходить в потенциальную энергию упругой деформации закручивающейся нити. Затем начинает­ся процесс перехода потенциальной энергии в кинетическую и т. д. Маятник совершает гармонические колебания, период которых значи­тельно больше времени соударения. Таким образом» физическая сис­тема состоит из маятника и пули, а явление, происходящее в систе­ме, заключается во взаимодействии тел (абсолютно неупругий удар).


  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛАСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК  

 

Будем решать задачу в приближении, что силы трения, дейст­вующие в системе, очень малы, так что моментом этих сил можно пре­небречь. Тогда для рассматриваемой системы тел справедливы законы сохранения момента импульса и энергии. Применим эти законы к двум состояниям системы: закон сохранения момента импульса - к состоя­нию системы до попадания пули и после ее соударения с маятником, закон сохранения энергии - к двум состояниям системы, совершающей крутильные колебания, после попадания пули. Инерциальную систему отсчета свяжем с землей, начало координат поместим в точку О, за ось вращения примем ось Z (рис.4).

Момент импульса маятника до взаимодействия равен нулю, поскольку до удара в него пули маятник покоился. Момент импульса пули относительно оси маятника в момент, предшествующий удару, равен m𝒱r (m - масса пули, 𝒱 - скорость, r - рас­стояние от оси до места попадания пули). Таким образом, полный момент импульса системы в первом состоянии равен

(11) (11)

Пусть в момент удара пули о маятник момент инерции ее относительно оси маятника равен , а момент инерции самого маятника при некотором положении грузов M равен . После удара пули вся система начинает совершать крутильные колебания с круговой часто­той . Тогда, согласно (9), полный момент импульса системы после попадания пули в маятник равен

(12) (12)

На основании закона сохранения момента импульса получаем

(13) (13)

Воспользуемся еще законом сохранения энергии, применив его к коле­бательному движению маятника.

Кинетическая энергия вращательного движения маятника переходит в потенциальную энергию, равную работе по закручивание нити. На ос­новании закона Гука упругий момент нити пропорционален углу пово­рота маятника:

, (14)

где коэффициент D пропорциональности, называемый модулей кручения. Знак минус выбран потому, что упругий момент направлен в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника. Элементарная работа против сил упругости по закручиванию нити на угол d∝ равна . После интегрирования получаем

(15)

Эта работа, взятая с обратным знаком, равна потенциальной энергии упруго

 

деформированной нити.

Приравнивая кинетическую энергию вращательного движения маятника вместе с пулей потенциальной энергии закрученной нити, получаем

(16)

Заменив в соотношениях (13) и (16) согласно (3), находим:

 

(17)

Решив систему (17), получаем скорость пули

(18)

Последнее соотношение можно упростить, приняв во внимание, что момент инерции пули значительно меньше момента инерции маятника. С учетом этого

(19)

2.2. Уравнение движения маятника в приближении небольших уг­лов отклонения при некотором фиксированном положении грузов M на основании (8) имеет вид:

(20)

где ∝ - угол поворота маятника, - угловое ускорение.

Частным решением этого уравнения является функция

(21)

в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Величина в последнем выражении играет роль круговой частоты, которая по оп­ределению равна . Таким образом, маятник будет совершать гармонические колебания с периодом

(22)

Для исключения величины D можно поступить следующим образом. Изменим положение грузов M относительно оси вращения маятника. Пусть новому положению грузов соответствует новое значение момента инерции маятника . Обладая таким моментом инерции, маятник со­вершает гармонические колебания с периодом

(23)

Из соотношений (22) и (23) получаем

(24)

Пусть момент инерции соответствует положению грузов M наиболее удаленному от оси вращения маятника. Тогда

(25)

Решая совместно (24) и (25), находим


  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛАСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК  

 


(26)

Величину △ℐ можно найти, пользуясь теоремой Штейнера (6). Из этой теоремы следует, что

. (27)

- момент инерции маятника, когда центры тяжести грузов совпа­дают с осью вращения маятника. и - моменты инерции, когда грузы отстоят от оси вращения соответственно на расстояни­ях и .

Из соотношений (27) получаем

(28)

Пользуясь формулами (19), (22) и (26), получаем скорость пули в виде

(29)

Подставляя в последнее соотношение △ℐ из (28), окончательно находим

(30)

 
 

Эта формула, определяющая скорость пули через величины, которые могут быть непосредственно наедены в эксперименте, и представляют собой рабочую формулу, используемую в настоящей работе.

Практическая часть

3.1. Описание установки. Общий вид баллистического маятника FPM-09 показан на рис. 5. Основание (1) оснащено регулировочными ножками (2), которые позволяют выравнивать прибор. В основании закреплена Колонна (3), на которой укреплены верхний кронштейн (4) и средний кронштейн (6).


К среднему кронштейну прикреплено стре­ляющее устройство (7), а также прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой (8) и фотоэлектрический датчик (9). Кронштей­ны (4) и (5) имеют зажимы, служащие для крепления стальной прово­локи (13), на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек, наполненных пластилином (10), двух перемещаемых грузов (11), двух стержней (12), водилки (1.4). Фотоэлектрический датчик соединен с привинченным к основанию универсальным миллисекундомером FPM-14 (15).

Электрическая схема маятника FPM-09 состоит из двух основных частей: фотоэлектрического датчика FK-1 и универсального миллисекундомера FPM-14. Элементы текущего обслуживания прибора находятся на лицевой панели миллисекундомера, а гнездо для подключения фотоэлектрического датчика на его задней стенке. Вид лицевой панели и задней стенки миллисекундомера FPM-14 представлены на рис. 6.

 

На лицевой стороне панели универсального миллисекундомера размещены следующие элементы управления:

"СЕТЬ" - выключатель сети, нажатие этой клавиши вызы­вает включение питающего напряжения. Предс­тавляется это свечением цифровых индикаторов высвечивающих цифру нуль и свечением лампоч­ки фотоэлектрического датчика.

"СБРОС" - сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызы­вает сброс схем миллисекундомера и генериру­ет сигнал, разрешающий измерение.

"СТОП" - окончание измерения. Нажатие этой клавиши вы­зывает генерирование сигнала (в электронной схеме прибора) на окончание процесса подсче­та.

 

3.2. Подготовка прибора к работе.

1. При помощи регулируемых ножек установить прибор в горизонтальное положение.

2. Включить лицевой шнур измерителя в питающую сеть.

3. Нажать переключатель "сеть", проверяя все ли индикаторы измерителя высвечивают цифры нуль, а также светится ли лампочка фотоэлектрического датчика.


  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛАСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК  

 

Прибор готов к работе сразу после включения сетевого напряжения и не нуждается в прогреве.

 

3.3. Порядок выполнения работы.

1. Максимально приблизить грузы (11) друг к другу (). Измерить .

2. Установить маятник в такое положение, чтобы черта на мисоч­ке показывала угол отклонения, равный нулю (∝=0).

3. Выстрелить снаряд из стреляющего устройства.

4. Измерить максимальный угол отклонения маятника (∝).

5. Включить и установить на нуль счетчик времени.

6. Отклонять маятник на угол ∝, включить измеритель време­ни я пустить маятник.

7. Измерять время десяти полных колебаний и вычислить .

8. Максимально развести грузы (11) (), измерить и повторить пункты 2,5,6.

9. Измерить время десяти полных колебаний и вычислить .

 

3.4. Обработка результатов измерений.

1. Все экспериментально полученные значения физических ве­личин представить в виде таблиц.

2. Пользуясь соотношением (30) вычислить скорость пули и найти ее среднее значение. При этом M, т и r считать известными и равными M = 200 г, m =4 г, r =12 см. Под­ставляя в рабочую формулу экспериментальные значения, следует об­ращать внимание на то, чтобы все величины входили в одной системе единиц.

3. Вычислить ошибку косвенных измерений по формуле

Эта формула получена на основании рабочей формулы (30) настоящего описания и формулы (35) пособия Л.П.Китаевой "Рекомендации по оценке погрешностей измерений в физическом практикуме". Здесь △∝, , , , - ошибки прямых измерений экспериментально определяемых величин.

Ошибки прямых намерений могут включать как систематические, так и случайные погрешности. Способы вычисления доверительного ин­тервала суммарной погрешности рассмотрены в разделе У § 12

 

 

пособия Л.П.Китаевой.

4. Записать окончательный результат определяемой величины с учетом вычисленной погрешности.

5. Обсудить результаты и сделать выводы. Обдумать и предло­жить свои варианты проведения эксперимента.

 

Техника безопасности.

При работе с прибором необходимо соблюдать правила безопас­ности, относящиеся к устройствам, а которых используется напряже­ние до 250 В. Эксплуатация прибора допускается только при наличии заземления.

 

Контрольные вопросы

1. Дайте понятия момента сил и момента импульса относительно точ­ки и относительно оси.

2. Дайте понятие момента инерции. Докажите теорему Штейнера. Подсчитайте момент инерции конуса и шара.

3. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О равен , приложена сила , где a, b, A, B - постоянные, и - орты осей x и y. Найти момент и плечо l силы относительно точки О.

4. Момент импульса частицы относительно некоторой точки О меня­ется со временем по закону , где и - постоянные векторы, причем . Найдите относительно точки 0 момент силы , действующий на частицу, когда угол между векторами и равен 45°.

5. Два диска одинаковой массы и толщины сделаны из металлов раз­личной плотности. Какой из них обладает большим моментом инерции?

6. Тело массы m бросили под углом ∝ к горизонту с начальной скоростью . Найти модуль вектора момента импульса относительно точки бросания в зависимости от времени.

7. Поясните, почему таяние шапок полярных снегов рассматривается как возможная причина вариаций в периоде вращения Земли вокруг оси.

8. Спортсмен-фигурист сообщает себе медленное вращение вокруг вер­тикальной оси. Резко собравшись, он уменьшает момент инерции те­ла, и скорость вращения увеличивается. Кинетическая энергия спортсмена при этом возрастает. Как согласовать этот вывод с законом сохранения энергии?

9. Работа есть мера изменения энергии. В процессе падения тела на Землю сила тяжести совершает работу, однако, полная энергия тела


  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛАСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК  

сохраняется, происходит лишь превращение потенциальной энер­гии в кинетическую. Нет ли здесь противоречия?

10. Под каким углом разлетятся два шарика равной массы после не­центрального упругого удара, если один из них до удара покоился?

 


 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ


Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных