Свойства гироскопа с тремя степенями свободы

где: γ₀ и ψ₀ – начальные значения координат;

γ и ψ – текущие значения координат;

k – круговая частота;

kt – фаза колебаний;

q₀ и r₀ – угловые скорости движения гироскопа по углам γ₀ и ψ₀ соответственно.

Анализ системы уравнений показывает, что первое уравнение – есть закон изменения угла γ, который показывает, что при большой скорости собственного вращения гироскопа угол γ, благодаря малости второго слагаемого, остается близким к начальному значению γ₀, поэтому можно принять

γ₀ = γ_ср=const (17)

Второе уравнение системы (16) – есть закон изменения угла ψ в котором ψ₀ =const и не зависит от времени. Второе слагаемое – периодическая функция от времени, характеризующая колебательный процесс и позволяющая определить величину угла отклонения оси X от её начального положения. Амплитудное значение угла очень мало, т. к. круговая частота очень велика, т.е.Н»А. На основании изложенного можно сделать вывод, что периодическая функция (второе слагаемое выражения) – есть функция времени, которая изменяет начальный угол ψ₀, незначительно и создает вокруг него колебания с большой частотой и малой амплитудой. Эта амплитуда колебаний уменьшается с увеличением Н. Пренебрегая по малости вторым слагаемым, получим

ψ₀ = ψ_ср=const (18)

Таким образом, проанализировав законы изменения углов γ и ψ, видно, что при большой угловой скорости собственного вращения гироскопа углы γ и ψ остаются близкими к их начальным значениям γ₀ и ψ₀, т.е. главная ось X свободного гироскопа сохраняет свое положение относительно инерциального пространства неизменным с точностью до величины периодического члена.

Для доказательства основного свойства гироскопа можно воспользоваться теоремой Резаля. Это доказательство проще, но не строго объясняет основное свойство.

Для свободного гироскопа, как это следует из определения, L=0, и теорему Резаля. можно записать в следующем виде: .

Это означает, что =const, т.е. вектор кинетического момента свободного гироскопа остается постоянным по величине и направлению в инерциальном пространстве, а т.к. его направление всегда совпадает с главной осью X гироскопа, то можно считать, что главная ось свободного гироскопа сохраняет неизменным первоначально заданное направление в инерциальном пространстве. Следовательно, если глазная ось X свободного гироскопа направлена на Солнце или звезду в начальные момент времени, то в дальнейшем она все время будет указывать это направление.

Пользуясь свободным гироскопом, можно проследить суточное вращение Земли. Действительно, если главная ось свободного гироскопа сохраняет неизменным свое первоначальное направление в инерциальном пространстве, а сама Земля вращается, то наблюдатель должен увидеть, что ось X свободного гироскопа поворачивается относительно Земли. Если направить главную ось X свободного гироскопа на Солнце, то она, сохраняя направление неизменным, будет вместе с Солнцем изменять свой азимут и высоту, т.к. плоскости меридиана и горизонта вращаются в инерциальном пространстве вместе с Землей. Такое изменение положения главной оси гироскопа относительно земных плоскостей¹ называется видимым движением.

С точки зрения физики основное свойство гироскопа объясняется инерцией. Все точки вращающегося ротора имеют скорости, направленные в плоскости вращения, и по закону инерции каждая точка стремится сохранить неизменной в пространстве плоскость своего вращения. На этом основании плоскость вращения всего ротора, а следовательно, и его главная ось также сохраняют неизменными в пространстве первоначальные направления.

Вполне очевидно, что чем больше угловая скорость вращения ротора, тем большим кинетическим моментом обладает гироскоп и тем сильнее выражено его основное свойство.

Нечувствительность гироскопа к удару является положительным качеством гироскопа. Удар – это кратковременное (мгновенное) действие момента внешней силы. Доказательство этого качества гироскопа производится решением технических уравнений. Не приводя решений уравнений, напишем законы изменения углов γ и ψ гироскопа после удара:

(19)

где ω₀ – начальная угловая скорость оси X гироскопа.

Выражения (19) есть законы изменения углов γ и ψ после удара. Анализ системы уравнений показывает, что главная ось X гироскопа совершает гармонические колебания в плоскости углов γ и ψ около положения равновесия, определяемого углами:

ψ_р = 0; γ_р = ω₀/k. (20)

Эти колебания имеют очень малую амплитуду и большую частоту. Практически при очень большой скорости вращения ротора гироскопа эти колебания неощутимы.

Отклонение оси X гироскопа от первоначального положения при ударе происходит только непосредственно в момент удара, и оно столь мало, что им можно пренебречь и считать;– удар практически не изменяет положения оси гироскопа в пространстве.

Б. Прецессионное движение гироскопа. Пусть на гироскоп действует внешняя сила F, как показано на рис. 7. Эта сила стремится повернуть гироскоп вокруг оси Y. Следовательно, момент внешней силы (L_Y) будет действовать вокруг оси Y. Рассмотрим поведение гироскопа в этом случае. Под влиянием момента внешней силы L_Y движение гироскопа определяется выражениями (12) и (13), значения q и r определяются из технических уравнений:

(21)

В нашем случае L_Z = 0, и k=Н/А, отсюда уравнения (21) после несложных преобразований примут вид:

(22)

Решение дифференциальных уравнений (22)

рис.7 приводит к выражениям вида:

(23)

Система уравнений (23) характеризует законы изменения углов γ и ψ при действии на гироскоп момента внешней силы L_Y

Второе уравнение системы характеризует закон изменения угла ψ и позволяет определить текущее значение этого угла на любой момент времени. Второе слагаемое характеризует изменение утла ψ и представляет собой периодическую функцию. При большой скорости вращения ротора гироскопа частота колебаний главной оси X велика, а второе слагаемое в целом мало. Это означает, что угол ψ остается практически равным ψ₀ т.е. не изменяется ψ₀ = const.

Первое уравнение показывает, что угол γ с течением времени изменяется. Второе слагаемое , есть произведение угловой скорости на время. Оно показывает изменение величины угла γ под действием момента внешней силы L_y; главная ось X гироскопа движется не в направлении действия силы F, а в плоскости, перпендикулярной этому направлении. Такое движение гироскопа называется прецессионным (рис.7). Третье слагаемое характеризует колебательное движение оси Z гироскопа, которое называется нутацией. При большой скорости собственного вращения гироскопа амплитуда этих колебаний, как и в законе для угла ψ, столь мала, а частота настолько велика, что колебания практически неощутимы. Фактическое движение гироскопа, оцениваемое системой уравнений (23), называется псевдорегулярной прецессией

Прецессионное и нутационное движения совершается одновременно. Главная ось гироскопа поворачивается вокруг точки подвеса 0 с угловой скоростью, равной угловой скорости прецессии и одновременно совершает нутационные колебания с большой частотой и малой амплитудой.

Угловая скорость прецессии гироскопа определяется равенством: , при ψ₀ = 0

. (24)

Формула (24) выражает основной закон прецессии: угловая скорость прецессионного движения гироскопа прямо пропорциональна моменту внешних сил (L) и обратно пропорциональна кинетическому моменту Н