Построение условных разверток поверхностей геометрических тел

К неразвертываемым поверхностям относят кривые линейчатые поверхности, у которых смежные образующие являются скрещивающимися прямыми линиями (цилиндроид, коноид, косая плоскость), и поверхности вращения, образованные вращением кривой линии вокруг неподвижной оси (эллипсоид, параболоид, однополостный гиперболоид и др.).

Теоретически неразвертываемые поверхности не имеют своей развертки – они не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и склеивания. Поэтому можно говорить лишь об условном решении задач по построению разверток неразвертываемых поверхностей. Общий прием решения этой задачи заключается в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертываемых поверхностей – гранными, цилиндрическими или коническими.

Ниже приведены примеры решения задач, в которых использованы наиболее часто применяемые способы: способ вспомогательных цилиндрических поверхностей и способ вспомогательных конических поверхностей.

Задача

Способом вспомогательных цилиндрических поверхностей построить условную развертку сферы.

Решение (рис. 155, 156)

Этот способ применяется для построения условных разверток поверхностей вращения и состоит в том, что заданную поверхность вращения делят с помощью меридиальных плоскостей на сравнительно узкие, равные между собой части. Каждую часть заменяют описанной цилиндрической поверхностью, которая касается заданной поверхности в точках среднего меридиана части. Границами цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую часть. Затем строят развертку полученных цилиндрических поверхностей.

На рис. 155 показано построение условной развертки поверхности сферы описанным выше способом. Для ее построения поверхность сферы пересекают горизонтально проецирующими плоскостями Q, P, T, S, проходящими через центр сферы. Эти плоскости делят сферу на восемь равных частей. Каждый из образовавшихся элементов сферы проецируется на плоскость Н в виде сектора.

Рассмотрим построение условной развертки одной части сферы, средний меридиан которой является главным меридианом. С достаточной для практики точностью элемент сферы аппроксимируют частью цилиндрической поверхности. Горизонтальной проекцией этого цилиндрического элемента является треугольник А′В′О′, а фронтальной – контур сферы (дуга окружности).

Для построения развертки цилиндрического элемента (лепестка) делят его фронтальную проекцию параллелями радиусов R₁, R₂, R₃... R₈ на восемь равных частей и строят горизонтальные проекции образующих [АВ], [СD], [EF], [NM], соответствующих точкам деления 1, 2, 3, 4... 8.

Так как образующие цилиндрической поверхности (в которые преобразуются дуги параллелей сферы) параллельны плоскости Н, то для построения развертки их действительные величины берут с горизонтальной проекции (отрезки [А′В′], [С′D′], [E′F′], [N′M′]), а расстояния между ними измеряют на фронтальной проекции (расстояния между точками 1, 2, 3, 4...8).

Для построения части цилиндрической поверхности проводят горизонтальную прямую (рис. 156), на которой откладывают отрезок [А₀В₀] = [А′В′].

Через середину этого отрезка проводят вертикальную прямую, на которой откладывают спрямленное меридиальное сечение и отмечают на нем точки пересечения с параллелями сферы 1₀, 2₀, 3₀, 4₀...8₀.

Через эти точки проводят горизонтальные прямые, на которых откладывают отрезки [C₀D₀] = [C′D′], [E₀F₀] = [E′F′], [N₀M₀] = [N′M′]. Затем точки А₀, С₀, Е₀,... N₀ соединяют плавными кривыми и получают развертку верхней половины лепестка.

Аналогично строят нижнюю его половину.

Восемь таких лепестков представляют собой приближенно построенную развертку сферы. На рис. 156 приведено построение трех из восьми лепестков.

Для качественного построения развертки следует разделить сферу не менее, чем на 12 частей и построить развертку всех лепестков.

Описанный способ не является единственным для построения условных разверток неразвертываемых поверхностей.

Способ вспомогательных конических поверхностей применяется для построения условных разверток поверхностей вращения и состоит в том, что заданную поверхность рассекают плоскостями (перпендикулярными к оси вращения) на произвольное число участков, каждый из которых аппроксимируют конической поверхностью, вписанной в заданную поверхность или описанной около нее.

Для наглядности решим способом конических поверхностей задачу, сходную с вышеописанной.

Задача

Способом вспомогательных конических поверхностей построить условную развертку сферы.

Решение (рис. 157, 158)

Полусферу рассекают горизонтальными плоскостями P и Т на три произвольных участка I, II и III. Первый участок аппроксимируют поверхностью полного конуса с вершиной S (S ′, S′′) и образующими [АS] и [BS]. Второй и третий участки заменяют поверхностями усеченных конусов с образующими [АС], [ВD] и [EС], [FD]. Усеченные конусы достраивают до полных конусов с вершинами S₁ (S ′₁, S′₁′) и S₂ (S ′₂, S′₂′), для чего образующие [АС], [ВD], [EС], [FD] продолжают до пересечения с осью полусферы в вершинах S₁ и S₂ . Затем строят горизонтальные проекции всех конусов с радиусами оснований r₁, r₂ и r₃. Окружности оснований делят на 8 равных частей (точки 1′′, 2′′, 3′′, …).

Построение развертки поверхности полусферы сводится к построению разверток боковых поверхностей трех вспомогательных конусов, вписанных в полусферу. Для этого разрезают поверхности конусов по образующим (на рис. 157 – по образующим [ЕС],
[АС] и [АS]).

Рис. 157

На свободном поле чертежа (рис. 158) проводят вертикальную линию. На ней произвольно выбирают положение вершины S₂₀ , из которой проводят дугу радиусом R₁, равным длине образующей |Е S₂ | = [Е′′ S ′₂′ ]. На этой дуге откладывают длину окружности основания участка III от точки F₀: |5₀ 4₀ | = [5′4′], |4₀ 3₀ | = [4′3′ ], |3₀ 2₀ | = [3′2′ ], |2₀ 1₀ | = [2′1′ ]. Аналогичным построением находят на дуге точки 6₀, 7₀, 8₀, 1₀. Соединяя точки 1₀ с вершиной S₂₀ , получают развертку полного конуса. Затем из вершины S₂₀ проводят дугу радиусом R₂, равным длине образующей | S₂D₀ | = [ S ′₂′ D′′], и получают развертку усеченного конуса, аппроксимирующего участок III полусферы.

Далее строят развертку усеченного конуса, аппроксимирующего участок II полусферы. Для этого от точки D₀ по вертикальной линии откладывают отрезок, равный по длине образующей
| S₁₀D₀ | = [ S ′₁′D ′₁′ ] = R₃. Из вершины S₁₀ проводят дугу этим радиусом и на этой дуге откладывают длину окружности основания участка
II от точки D₀: | 5₁₀4₁₀ | = [ 5 ′₁4 ₁′ ], | 4₁₀3₁₀ | = [ 4 ′₁3 ₁′ ], | 3₁₀2₁₀ | = [ 3 ′₁2 ₁′ ],
| 2₁₀1₁₀ | = [ 2 ′₁1 ₁′ ]. Аналогично строят точки 6₁₀ , 7₁₀ , 8₁₀ , 1₁₀ . Соединяют точки 1₁₀ с вершиной S₁₀, из которой проводят дугу радиусом R₄, равным длине образующей | S₁₀В₀ | = [ S ′₁′В ′ ′ ].

Для получения развертки конуса, аппроксимирующего участок I полусферы, из точки В₀ по вертикальной линии откладывают отрезок, равный по длине образующей | S₀В₀ | = [S′′B′′] = R₅ , и из вершины S₀ проводят дугу этим радиусом. На полученной дуге откладывают длину окружности основания участка I от точки В₀: | 5₂₀4₂₀ | = [ 5 ′₂4 ₂′ ], | 4₂₀3₂₀ | = [ 4 ′₂3 ₂′ ],| 3₂₀2₂₀ | = [ 3 ′₂2 ₂′ ], | 2₂₀1₂₀ |=[ 2 ′₂1 ₂′ ]. Аналогично находят положение точек 6₂₀ , 7₂₀ , 8₂₀ , 1₂₀ . Соединяют точки 1₂₀ с вершиной S₀.

Рис.158

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: