Основные сведения о фазовом пространстве

Один из лучших способов понять динамическую систему – сделать её динамику видимой, например, построив график. Есть два основных вида графиков, отражающих динамику системы. Первый – простой график временного ряда. Другой вид графика не отображает время напрямую. Поэтому ось, по которой мы откладывали время на первом виде графика, может быть использована для какой-либо другой переменной. Таким образом, новый вид графика позволяет изображать в том же пространстве на одну переменную больше (вместо времени). Точка на таком графике отражает состояние или фазу системы конкретный момент времени (также как, например, фаза Луны). Время выявляется в относительном восприятии из последовательности точек, в том, как система переходит из одного состояние в другое.

Пространство в таком виде графика имеет специальное название: фазовое пространство или пространство состояний (Рис. 1). Формально, фазовое пространство или пространство состояний – это абстрактное математическое пространство, в координатах которого отображаются переменные, необходимые для задания фазы (или состояния) динамической системы. Фазовое пространство содержит все мгновенные состояния системы, которые только могут быть.

Рис. 7.1. Двумерное (слева) и трёхмерное фазовые пространства

Как дополнение к простому графику временного ряда, фазовое пространство предоставляет другой взгляд на развитие. К тому же, поскольку некоторые временные ряды могут быть очень длинными, их сложно показать на одном графике. Фазовое пространство уплотняет все данные в одно легко управляемое пространство или график, часто называемый фазовым портретом. Также следует отметить, что структуры или зависимости, которые мы могли не заметить на графике временного ряда, часто обнаруживаются в наглядных формах в фазовом пространстве.

В том случае, если в фазовом пространстве необходимо отобразить систему, описываемую лишь одной переменной, то по одной оси откладывают эту переменную, а по другой – следующее или предыдущее значение этой переменной. Также можно откладывать значения переменной с задержкой или опережением, отличными от единицы. Например, откладывая по одной оси текущее значение переменной, а по другой – значение переменной 5 итераций назад.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: