Указания к решению задач

Задача № 1

Случайная величина X задана функцией распределения:

Найти функцию плотности вероятности ƒ(x) случайной величины X.

Построить график ƒ(x)иF(x).

Найти вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значения:

а) равное 1; б) не более 1; в) в интервале от 1 до 2.

Решить задачу двумя способами: используя F(х) и ƒ(x).

Изобразить указанные вероятности на графиках F(х) и ƒ(x).

Решение

Найдем функцию плотности вероятности ƒ(x) случайной величины X.

Функцию вероятности вычислим по формуле ƒ(x) = F'(х).

Если х ≤ 0; то F(х) = 0; тогда ƒ(x) = F'(х) = (0)′ = 0.

Если 0 < х ≤ 3; то F(х) =……, тогда ………..

Если х > 3, то F(х) = …, тогда ƒ(x) = ( ….. ) ' = ………………

Запишем функцию плотности

Построим графики F(х) и ƒ(x).

рис. 1 рис. 2

а) Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение равное 1.

Найдем Р(Х = …… ).

Т. к. случайная величина X - непрерывна, то вероятность отдельно взятого значения равна нулю, т.е. P(X = ….. ) = ……….

б) Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение не более 1.

P(X ≤ ….. ) найдем по формуле Р(а ≤ X ≤ b) = F(b) - F(а)

………………

Решим задачу 2-м способом. Воспользуемся формулами:

Р(а ≤ X ≤ b)= Получим:

………….……………………..

Вывод: оба ответа совпадают.

Изобразим полученную вероятность на графиках F(х ) и ƒ(x).

На рис.3 Р (Х ≤ 1) это площадь под кривой распределения ƒ(x) на отрезке [0; 1].

На рис. 4 Р(х ≤ 1) это ордината точки F(1)

в) Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение в интервале от 1 до 2.

...............................................

или

............................................

Изобразим полученную вероятность на графиках F(х ) и ƒ(x).

На рис. 5 Р(1 ≤ Х ≤ 2) это площадь под кривой распределяется на отрезке [1; 2];

На рис. 6 Р(1 ≤ Х ≤ 2) это приращение ординаты графика Р(х) на отрезке [1; 2].

Задача № 2

Случайная величина X задана функцией плотности вероятности:

Найти функцию распределенияF(x) случайной величины X.

Построить график ƒ(x) и F(х).

Вычислить Р(1 ≤ Х ≤ 2)

Изобразить на графиках ƒ(x) и F(х) найденную вероятность. Отметить на графике F(х), то значение случайной величины X, при котором она имеет наибольшую вероятность.

Решение

Функцию распределения F(x) непрерывной случайной величины найдем по формуле

Область определения дифференциальной функции ƒ(x) непрерывна, но функция задана различными аналитическими выражениями на разных интервалах.

Если x ≤ 0, тогда ƒ(x) = 0 и ..........

Если 0 < x ≤ 2, то .........; следовательно .............................................................

Если х > 2, то ƒ(x) =........ и, следовательно, ...............................................

......................................................................................................

Таким образом, искомая функция

Построим графики функции

Наибольшую вероятность F(x) имеет при х =.............

Вычислим Р(1 ≤ Х ≤ 2).......................................................

Ответ:..............................................................................

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: