Самоиндукция и взаимоиндукция

Основные формулы

• Работа по перемещению замкнутого контура с током в маг­нитном поле

A = I D Ф,

где D Ф — изменение магнитного потока, пронизывающего поверх­ность, ограниченную контуром; I — сила тока в контуре.

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея — Максвелла)

где — электродвижущая сила индукции; N — число витков кон­тура; Y — потокосцепление.

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной I, движущегося со скоростью u в однородном магнитном поле,

U=Blusina,

где a — угол между направлениями векторов скорости u и магнит­ной индукции В;

б) электродвижущая сила индукции , возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукцией В

где w t — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.

• Количество электричества Q, протекающего в контуре,

где R — сопротивление контура; DY — изменение потокосцепления.

•Электродвижущая сила самоиндукции возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

где L — индуктивность контура.

• Потокосцепление контура Y= LI, где L — индуктивность контура.

• Индуктивность соленоида (тороида)

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнит­ной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 24.1), а затем формулой

• Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей актив­ным сопротивлением R и индуктивностью L:

а) после замыкания цепи

—ЭДС источника тока; t— время, прошедшее после замы­кания цепи;

б) после размыкания цепи

где l ₀ — сила тока в цепи при t=0, t— время, прошедшее с момен­та размыкания цепи.

Примеры решения задач

Пример 1. Виток, по которому течет ток I =20 А, свободно уста­новится в однородном магнитном поле В =16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по­вернуть виток на угол a=p/2 относительно оси, совпадающей с диа­метром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже­нием

где Ф₁ и Ф₂ — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь­ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про­тивоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (по­ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действу ющий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного мо­мента p_m контура сонаправлен с вектором В (рис. 25.1, а) и магнит­ный поток Ф₁ максима­лен (a=0, cos a=1), т. е. Ф₁ =ВS (где S — площадь контура). В ко­нечном положении (рис. 25.1, б) вектор p_m перпендикулярен вектору B (a=p/2, cos a=0) и маг­нитный поток Ф₂=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан­ных замечаний:

Так как площадь контура S=pd²/4. то работа

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

Пример 2. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N= 1000 витков, с часто­той n=l0 c ^-1. Площадь S рамки равна 150 см². Определить мгновен­ное значение ЭДС , соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции , определя­ется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

Потокосцепление Y= NФ, где N — число витков, пронизывае­мых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1),

получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рам­ку в момент времени t, изменяется по закону Ф=ВS cosw t, где В — магнитная индукция; S — площадь рамки; w— угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением w=2p п. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив w t на угол a, получим

(4)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 p, N и sin w t — величины безразмер­ные и неименованные, получим

Произведя вычисления по формуле (4), найдем

Пример. 3 По соленоиду течет ток I =2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп­ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N=800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y= LI, откуда L=Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Y=Ф N), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.

Пример 4. При скорости изменения силы тока D I /D t в соле­ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук­ции =0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС само­индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше­нием *

*Сравните с предыдущим примером

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L =1,6 мГн.

Пример 5. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I= 1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо­ляции пренебречь.

Решение. Возможны два способа решения, 1-й способ. Ко­личество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время d t при силе тока I, определяется равенством

(1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет . Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t®¥I®0), получим

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

(2)

2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока I выраже­ние ее через ЭДС индукции , и сопротивление R соленоида, т. е.

Но связана со скоростью изменения потокосцепления Y по закону Фарадея —Максвелла: =- dY /d t, тогда

Интегрируя, получаем

(3)

Потокосцепление Y пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, Y₁= LI ₀; Y₂=0, так как Y₂ соответствует тому мо­менту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения Y₁ и Y₂ в формулу (3), получим Q=Y₁/ R, или

что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленои­да, следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами

где m₀ — магнитная постоянная; N — число витков; l ₁ — длина соленоида; S ₁ — площадь сечения соленоида; r — удельное сопро­тивление провода; l —длина провода; S —площадь сечения про­вода; d— диаметр провода; d ₁—диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диа­метр d ₁ соленоида соотношением l=pd ₁ N, где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид

Но l ₁ /N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,

Произведя вычисления по формуле (5), получим

Q =363 мкКл.

Задачи

Работа по перемещению проводника * в магнитном поле

25.1. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,01 Тл находится прямой провод длиной l=8 см, расположенный перпен­дикулярно линиям индукции. По проводу течет ток I =2 А. Под действием сил поля провод переместился на расстояние s=5 см. Найти работу A сил поля.

25.2. Плоский контур, площадь S которого равна 300 см², на­ходится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям индукции. В контуре поддерживается неизменный ток I =10 А. Определить работу А внешних сил по перемещению контура с током в область пространст­ва, магнитное поле в которой отсутствует.

25.3. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной дли­ной а =10 см, течет ток I =20 А, сила которого поддерживается не­изменной. Плоскость квадрата составляет угол a=20° с линиями индукции однородного магнитного поля (В =0,1 Тл). Вычислить работу A, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля.

25.4. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиу­сом R =10 см, течет ток I =100 А. Перпендикулярно плоскости коль­ца возбуждено магнитное поле с индукцией B =0,1 Тл, по направле­нию совпадающей с индукцией B ₁ собственного магнитного поля кольца. Определить работу А внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упру­гих сил пренебречь.

* Перемещение проводника или контура с током в магнитном поле счи­тать настолько медленным, что возникающими индукционными токами можно пренебречь.

25.5(1). Виток, по которому течет ток I =20 А, свободно устано­вился в однородном магнитном поле с индукцией В =0,016 Тл. Диа­метр d витка равен 10 см. Определить работу A, которую нужно совершить, чтобы повернуть виток на угол a=p/2 относительно оси, совпадающей с диаметром. То же, если угол a=2 p.

25.5(2). Квадратная рамка со стороной а=10см, по которой течет ток I =200 А, свободно установилась в однородном магнитном поле (B =0,2 Тл). Определить работу, которую необходимо совер­шить при повороте рамки вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции, на угол q =2p/з.

Электродвижущая сила индукции

25.6. Магнитный поток Ф=40 мВб пронизывает замкнутый контур. Определить среднее значение ЭДС индукции < >, возни­кающей в контуре, если магнитный поток изменится до нуля за время D t =2 мс.

25.7. Прямой провод длиной l =40 см движется в однородном магнитном поле со скоростью u=5 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов U между концами провода равна 0,6 В. Вычислить индукцию В магнитного поля.

25.8. В однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл нахо­дится прямой провод длиной l =20 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его пер­пендикулярно линиям индукции со скоростью u=2,5 м/с.

25.9. Прямой провод длиной l =10 см помещен в однородном маг­нитном поле с индукцией В= 1 Тл. Концы его замкнуты гибким про­водом, находящимся вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,4 Ом. Какая мощность Р потребуется для того, чтобы двигать про­вод перпендикулярно линиям индукции со скоростью u=20 м/с?

25.10. К источнику тока с ЭДС =0,5 В и ничтожно малым внут­ренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг другу. Рас­стояние l между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнит­ная индукция В= 1,5 Тл. По стержням под действием сил поля сколь­зит со скоростью u=l м/с прямолинейный провод сопротивлением R =0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Опреде­лить: 1) ЭДС индукции 2) силу F, действующую на провод со стороны поля; 3) силу тока I в цепи; 4) мощность P₁, расходуемую на движение провода; 5) мощность Р₂, расходуемую на нагревание провода; 6) мощность Р₃, отдаваемую в цепь источника тока.

25.11. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается

стержень длиной l =10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения n =16 с^-1.

25.12. Рамка площадью S =200 см² равномерно вращается с частотой n =10 с^-1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (B =0,2 Тл). Каково среднее значение ЭДС индукции <e _i > за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, из­менится от нуля до максимального значения?

25.13. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,35 Тл равномерно с частотой n =480 мин^-1 вращается рамка, содержащая N=500 витков площадью S =50 см². Ось вращения лежит в плос­кости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции ε_max, возникающую в рамке.

25.14. Рамка площадью S =100 см² содержит N =10³ витков провода сопротивлением R₁ =l2 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление R₂ =20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (B =0,1 Тл) с частотой n =8 с^-1. Оп­ределить максимальную мощность P_max переменного тока в цепи.

25.15. Магнитная индукция B поля между полюсами двухполюс­ного генератора равна 0,8 Тл. Ротор имеет N =100 витков площадью S =400 см². Определить частоту п вращения якоря, если максималь­ное значение ЭДС индукции e _i =200 В.

25.16. Короткая катушка, содержащая N =1000 витков, рав­номерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией B =0,04 Тл с угловой скоростью ω=5 рад/с относительно оси, совпа­дающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям индук­ции поля. Определить мгновенное значение ЭДС индукции e _i для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α =60° линиями индукции поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Количество электричества, протекающее в контуре при изменении магнитного потока*

25.17. Проволочный виток радиусом r =4 см, имеющий сопротив­ление R =0,01 Ом, находится в однородном магнитном поле с ин­дукцией B =0,04 Тл. Плоскость рамки составляет угол α =30° с линиями индукции поля. Какое количество электричества Q проте­чет по витку, если магнитное поле исчезнет?

25.18. Проволочное кольцо радиусом r =10 см лежит на столе. Какое количество электричества Q протечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? Сопротивление R кольца равно 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции В магнитного поля Земли равна 50 мкТл.

25.19. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло количество электричества Q =10 мкКл. Определить магнитный поток Ф, пересеченный кольцом, если сопротивление R цепи гальванометра равно 30 Ом.

25.20. Между полюсами электромагнита помещена катушка, сое­диненная с баллистическим гальванометром. Ось катушки парал­лельна линиям индукции. Катушка сопротивлением R₁ =4 Ом име­ет N =15 витков площадью S =2 см². Сопротивление R₂ гальвано­метра равно 46 Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключи­ли, по цепи гальванометра протекло количество электричества Q =90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию В поля электромаг­нита.

25.21. Рамка из провода сопротивлением R =0,01 Ом равномер­но вращается в однородном магнитном поле с индукцией B =0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь S рамки равна 100 см². Найти, какое количест­во электричества Q протечет через рамку за время поворота ее на угол α=30° в следующих трех случаях: 1) от α₀=0 до α₁=30°; 2) от α₁ до α₂=60°; 3) от α₃=90°.

25.22. Тонкий медный провод массой т= 1г согнут в виде квад­рата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное маг­нитное поле (B =0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противо­положные вершины, вытянуть в линию.

25.23. На расстоянии а = 1 м от длинного прямого провода с то­ком I =кА находится кольцо радиусом r =1см. Кольцо расположе­но так, что поток, пронизывающий его, максимален. Определить количество электричества Q, которое протечет по кольцу, когда ток в проводнике будет выключен. Сопротивление R кольца 10 Ом.

Указание. Поле в пределах кольца считать однородным.

25.24. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивле­нием R =0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода соответствен­но равны a₁ =10 см, a₂ =20 см. Найти силу тока I в проводе, если при его включении через рамку протекло количество электричест­ва Q =693 мкКл.

Самоиндукция и взаимоиндукция

25.25. По катушке индуктивностью L=0,03 мГн течет ток I =0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время Δt =120 мкс. Определить среднюю ЭДС самоиндук­ции <e _i >, возникающую в контуре.

25.26. С помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на ΔI =0,1 А в 1 с. Индуктивность L катушки равна 0,01 Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции <e _i >.

25.27. Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой υ=50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю ЭДС самоиндукции <e _i >, воз­никающую за интервал времени Δt, в течение которого ток в катуш­ке изменяется от минимального до максимального значения. Ампли­тудное значение силы тока I₀ =10 А.

25.28. Катушка сопротивлением R₁=0,5 Ом с индуктивностью L=4 мГн соединена параллельно с проводом сопротивлением R₂ =2,5 Ом, по которому течет постоянный ток I =1 А. Определить количество электри­чества Q, которое будет индуцировано в ка­тушке при размыкании цепи ключом К (рис. 25.2).

25.29. На картонный каркас длиной l =50 см и площадью S сечения, равной 4 см², намотан в один слой провод диаметром d =0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренеб­речь). Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.

25.30. Индуктивность L соленоида длиной l =1 м, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сече­ния соленоида равна 20 см². Определить число п витков на каждом сантиметре длины соленоида.

25.31. Сколько витков проволоки диаметром d =0,4 мм с изоля­цией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром D =2 см, чтобы получить однослойную катушку с индук­тивностью L =l мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.

25.32. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет N₁ =750 витков и индуктивность L₁ =25 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L₂ =36 мГн, обмотку с катуш­ки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Определить чис­ло N₂ витков катушки после перемотки.

25.33. Определить индуктивность L двухпроводной линии на участке длиной l =1 км. Радиус R провода равен 1 мм, расстояние d между осевыми линиями равно 0,4 м.

Указание. Учесть только внутренний магнитный поток, т. е. поток, пронизывающий контур, ограниченный проводами.

25.34. Соленоид индуктивностью L =4 мГн содержит N =600 витков. Определить магнитный поток Ф, если сила тока I, протекаю­щего по обмотке, равна 12 А.

25.35. Индуктивность L катушки без сердечника равна 0,02 Гн. Какое потокосцепление ψ создается, когда по обмотке течет ток I = 5 А?

25.36. Длинный прямой соленоид, намотанный на немагнитный каркас, имеет N =1000 витков и индуктивность L =3 мГн. Какой магнитный поток Ф и какое потокосцепление ψ создает соленоид при силе тока I =1 А?

25.37. Соленоид, площадь S сечения которого равна 5 см², содержит N =1200 витков. Индукция В магнитного поля внутри соленоида при силе тока I =2 А равна 0,01 Тл. Определить индуктивность L соленоида.

25.38. Соленоид содержит N =1000 витков. Площадь S сечения сердечника равна 10 см². По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В==1,5 Тл. Найти среднюю ЭДС индукции <e _i >, возни­кающей в соленоиде, если ток уменьшится до нуля за время t =500 мкс.

25.39. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N =500 витков. Длина l сердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протека­ющего по обмотке, возрастет от I₁ =0,l А до I₂ =1 А (см. рис. 24.1).

25.40. Две катушки расположены на небольшом расстоянии од­на от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быст­ротой 5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индук­ции e _i =0,1 В. Определить коэффициент М взаимной индукции ка­тушек.

25.41. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет N₁ =251 виток. Средний диаметр < D > тороида равен 8 см, диаметр d витков равен 2 см. На тороид намотана вторичная обмотка, имею­щая N₂ =100 витков. При замыкании первичной обмотки в ней в течение t =1 мс устанавливается сила тока I =3 А. Найти среднюю ЭДС индукции <e _i >, возникающей на вторичной обмотке.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: