ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Основные свойства преобразования Лапласа
Очевидно, что соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначны, т. е. каждой функции f(t) соответствует одна вполне определенная функция F(p) и наоборот. Свойство линейности. При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение
а f(t) а F(p). Действительно, .
Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (свойство линейности преобразования Лапласа: изображение линейной комбинации функций есть линейная комбинация изображений)
.
Теорема дифференцирования. Допустим, что некоторая функция f(t) имеет изображение F(p), требуется найти изображение производной этой функции. Пусть . Найти .
.
Интегрируя по частям, получим
,
.
Вычисление производной при нулевых начальных условиях [f(0) = 0] соответствует умножению изображения функции на множитель p: , .
Теорема интегрирования. Известно изображение некоторой функции f(t). Требуется определить изображение функции, являющейся интегралом функции f(t). Пусть , тогда ,
если = 0 , то ,
f(t) F(p), F(p) = , , .
Многократному интегрированию соответствует общее выражение
.
Теорема запаздывания. Теорема позволяет определить изображение функции , отличающейся от функции f(t) тем, что она сдвинута вправо вдоль оси времени на (рис. 1.49)
Рис. 1.49
, так как в интервале функция = 0. Введем новую переменную , тогда , .
.
Таким образом, запаздывание функции на время соответствует умножению её изображения на . Теорема смещения. Теорема смещения позволяет определить, как изменяется изображение при умножении оригинала на показательную функцию , где a - постоянное число. Пусть новая функция имеет вид .
Изображение . Таким образом, умножение временной функции на экспоненциальный множитель приводит к «смещению» в области изображений независимой переменной p на . Теорему смещения очень удобно применять при определении изображения экспоненциально убывающих функций. Например, необходимо найти изображение функции . Выше было показано, что , тогда
.
Разделив вещественную и мнимую части, получим , . Следовательно, .
Теорема умножения изображений (теорема свертки - интеграл Бореля) заключается в следующем: если
, , то
Таким образом, произведению изображений двух функций соответствует свертка их оригиналов. Теорема свертки широко используется при составлении таблиц операторных соотношений. Если изображение искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или более) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей можно вычислить оригинал исходной функции. Например, определим оригинал функции, изображение которой имеет вид . Изображение Ф(р) можно представить как произведение двух изображений: , .
Следовательно, .
Теорема подобия позволяет определить изображение функции времени при изменении масштаба её аргумента. Пусть известно изображение функции f(t) F(p). Определим изображение функции j(t) = f(a t), где а - некоторая положительная постоянная. . Обозначим at = x, тогда и . Окончательно имеем f(a t) .
Умножение аргумента оригинала на положительное постоянное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а. Предельные соотношения устанавливают существование равенства между значениями функции времени и её изображения в начале координат и в бесконечно удаленной точке.
, .
Ниже будет показано, что комплексную переменную р можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту, мнимая часть которой представляет собой угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественная характеризует изменение огибающей этого колебания. Приняв вещественную часть р равной нулю, получим из предельных соотношений связь между функцией времени и частотной характеристикой в начале координат и при бесконечных значениях t и jw. Проиллюстрируем эту связь на примере прохождения импульсного сигнала через усилитель с ограниченной полосой пропускания (рис. 1.50).
Рис. 1.50 Таким образом, характер изменения функции времени в области малых времен определяется частотной характеристикой в области высоких частот и наоборот: изменения в области больших времен определяется частотной характеристикой в области низких частот. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|