Средние индексы из индивидуальных (групповых)

Преамбула

Индексы (index лат. – указатель)— это относительные величины, харак­теризующие отношение значений определенных показателей (индексируемых величин) во времени (динамические), в пространстве (территориальные), или по сравнению с некоторой базой – планом, или иным нормативом.

По охвату единиц совокупности индексы делятся на индивидуальные и общие (сводные).

Индивидуальные индексы (I) характеризуют относительное из­менение единичного элемента сложной совокупности:

- индекс объёма продукции (63)

- индекс цены (64)

- индекс себестоимости (65)

и т.д.

Индивидуальные индексы показывают, каково соотношение между отчетным (со знаком «1») и базисным (со знаком «0») пока­зателями или во сколько раз увеличилась (уменьшилась) индекси­руемая величина.

Общие (сводные) индексы (I) характеризуют изменение индексируемого показателя в целом по сложной совокупности, отдельные эле­менты которой несоизмеримы в физических единицах (например, индекс объема промышленной продукции, индекс цен на продо­вольственные товары и т.п.).

Общие индексы могут быть построены как агрегатные или как средние из индивидуальных.

Рекомендация выбора весовых показателей: весовые показатели, как правило, должны иметь единицу измерения, входящую в единицу измерения индексируемого показателя. Например, индекс цен – цена в руб./ед., веса – натуральные единицы продукции, и наоборот.

Агрегатные индексы

Агрегатные индексы являются исходной формой сводных (общих) индексов.

Построение агрегатных индексов сводится к тому, что с помощью определенных соизмерителей выражаются итоговые величины сложной совокупности в отчетном и базисном периодах, а затем первая сопоставляется со второй.

Рассмотрим особенности построения агрегатных индексов для наиболее часто встречающихся в статистике показателей.

1. Агрегатный индекс физического объема. Предположим, нужно показать изменение объема выпускаемой продукции на Приборном заводе в отчётном году по сравнению с предыдущим (базисным) годом. Завод выпускает различные изделия гражданского и военного назначения. Сложить эту продукцию в натуральном выражении недопустимо. Но если использовать ценовые измерители, то можно определить объёмы выпуска в стоимостном выражении.

При этом, чтобы изменение цен не влияло на величину стоимостного показателя, продукцию двух лет надо оценить в одних и тех же ценах. Если выпуск продукции условно обозначить через q, а цены — через р, то формула агрегатного ин­декса физического объема выразится следующим обра­зом:

(66)

где q₁ и q₀ — количество продукции соответственно в отчетном и базисном периодах; р₁ и р₀ — цены соответственно сопоставимые и базисного периода.

Разность между числителем и знаменателем покажет изменение объёма выпуска продукции (товарной) в абсолютном выраже­нии за счет изменения объема продукции (q):

(67)

Где - изменение объёма продукции за счёт изменения объёма производства в натуральном выражении.

При построении агрегатного индекса физического объема могут использоваться и другие веса. Например, если принять в качестве измерителей себестоимость единицы продукции в базисном периоде (с₀), то агрегатный индекс физического объема можно записать как:

(68)

Тогда разность покажет, как изменились общие затраты (издержки) на производство в связи с изменением выпус­ка продукции.

Если в качестве измерителей принять затраты времени на единицу продукции в базисном периоде - t₀, то формула агрегат­ного индекса физического объема будет иметь вид:

(69)

а разность будет характеризовать изменение общих затрат времени на производство продукции за счет изменения объема выпуска.

2. Агрегатный индекс цен. По аналогии с индексом физического объема для определенного набора товаров (продуктов) может быть построен и агрегатный индекс цен, то есть индекс качественного показателя. При этом логика решения остаётся та же - нельзя сум­мировать цены на различные товары, то можно суммировать и сопоставлять стоимости этих товаров.

Для этого один и тот же ко­личественный набор продуктов можно оценить в ценах отчетного и базисного периодов и затем сопоставить первую величину со вто­рой. Таким образом, в агрегатном индексе цен индексируемой величиной является цена (р), а измерителем (вернее, весами) — количество произведенных (реализованных) товаров (q).

Если количество товаров принять на уровне базисного периода - (q₀), то получаем так называемый индекс Ласпейреса (немецкого учёного):

(70)

Если выпуск продукции в натуральном выражении принять на уровне базисного или отчетного (q₁) периода, то получится индекс Пааше:

(71)

По аналогии можно записать агрегатные индексы для многих других показателей.

Индекс Ласпейреса не пригоден для факторного экономического анализа, так как формирует неразложимый остаток. В самом деле, сумма изменений, например, объёма выпуска продукции Приборным заводом за счёт изменения натурального показателя и стоимостного показателя должна быть равна общему изменению объёма выпуска:

(72)

Подставляем соответствующие изменения по индексу Ласпейреса и получаем:

(73)

Для индекса Пааше это равенство соблюдается.

3. Агрегатный индекс себестоимости. По данным о выпуске (q) и себестоимости (с) отдельных видов продукции за два периода можно рассчитать аналогично индексу цен Пааше агрегатный ин­декс себестоимости:

(74)

В этом индексе себестоимость отдельных товаров (с) — индек­сируемая величина, а продукция отчетного периода (q₁) — веса.

Данный индекс показывает, как меняются в относительном выражении общие затраты на производство за счет измене­ния себестоимости отдельных товаров.

4. Индексы производительности труда. Обозначим объем произведенной продукции через Q, а трудозатраты на ее произ­водство через T ( человеко-часы, человеко-дни, человеко-месяцы или средняя численность работников в месяц). Производительность труда можно измерить количеством продукции w (в натуральном или стоимостном выражении в неизменных ценах), вырабатыва­емой в единицу времени, либо затратами рабочего времени t на единицу продукции.

Первый показатель называют прямым показателем произво­дительности труда (выработкой), а второй — обратным или трудоемкостью, т.е. прямой показатель производительности труда w = Q/T, а обрат­ный (трудоемкость) t= T/Q.

Индивидуальные индексы для указанных показателей рассчиты­ваются по следующим формулам:

и (75)

Индекс i_w непосредственно показывает изменение производительности труда.

Индекс i_t — это индекс затрат времени на единицу продукции, или индекс трудоемкости. Производительность труда изменяется обратно пропорционально изменению трудоёмкости. Поэтому, при использовании t для оценки изменения производительности труда берется величина, обратная индексу трудоемкости, или просто базисная трудоемкость сопоставляется с текущей:

(76)

Сводный индекс производительности труда в агрегатной форме рассчитывается по формуле:

(77)

где w₀ и w₁ — выработка продукции в единицу рабочего времени в натуральном выражении при однородной продукции или в стои­мостном (в сопоставимых ценах) при разнородной продукции в базисном и текущем периодах;

T₁ — общие затраты времени на производство продукции (или среднесписочная численность ра­ботников) в текущем периоде;

— фактический объем продукции, произведенной в отчетном периоде (в натуральном или стоимостном выражении в сопоставимых ценах);

— услов­ная величина, показывающая, каким был бы выпуск продукции в отчетном периоде при численности работников отчетного периода, но базисной производительности труда.

Агрегатный индекс производительности труда можно выразить и через показатель трудоемкости (t) как:

(78)

где q₁ — выпуск продукции отдельных видов в натуральном выра­жении в отчетном периоде;

— условные затраты времени на выпуск продукции отчетного периода при базисной трудоемкости;

— фактические затраты времени на весь объем продукции в отчетном периоде.

Агрегатные индексы легко интерпретировать, поэтому они счи­таются основной формой общих (сводных) индексов, но не един­ственной.

Средние индексы из индивидуальных (групповых)

Общие индексы могут быть исчислены не только как агрегат­ные, но и как средние из индивидуальных или групповых. Например, если имеются данные об изменении цен на конкретные товары, то, естественно, из таких индивидуальных индексов могут быть рас­считаны общие (сводные) индексы как средние величины, при­чем взвешенные.

Поскольку существует несколько форм (видов) средних вели­чин, то при расчете средних индексов прежде всего возникает во­прос о форме средней и о весах.

В статистической практике средние индексы рассчитываются преимущественно в форме среднего арифметического взвешенного и среднего гармоническог:

(79)

и

(80)

где i — индивидуальные индексы изучаемого показателя (индек­сируемой величины);

f (и w - частость) и М — веса соответственно в среднем ариф­метическом и среднем гармоническом индексах.

При этом надо помнить, что веса для индивидуальных индексов должны быть подобраны так, чтобы обеспечивалось тождество среднего арифметического или гармонического индекса агрегат­ному. Это легко достигается следующими преобразованиями. На­пример, в числителе агрегатного индекса физического объема

вместо q₁ записываем равное ему выражение iq₀, получаемое из формулы индивидуального индекса объема . В результате имеем средний арифметический индекс физического объема, тождественный агрегатному:

(81)

Где - индивидуальные индексы объема;

q₀p₀ — стоимость продукции базисного периода (веса).

Соответственно, если из формулы выразить q₀ как , и произвести замену в знаменателе агрегатного индекса физического объема, то получим формулу среднего гармонического индекса физи­ческого объема:

(82)

Где — индивидуальные индексы объема;

q₁ p₀ — стоимость продукции текущего периода в базисных ценах (веса).

Аналогично осуществляется переход от агрегатной формулы к средней арифметической и гармонической для индекса цен (т.е. из записывается р₁=iр₀

и замещается р₁ и р₀ в агрегатном индексе.

Но поскольку агрегатные индексы цен могут быть построены по формуле Ласпейреса или Пааше, то и средние из индивидуаль­ных строятся, соответственно, по-разному. Так, средний арифмети­ческий индекс цен, тождественный агрегатному индексу Ласпейреса, будет иметь вид:

(83)

Где — индивидуальные индексы цен; q₀p₀ — веса.

Средний арифметический индекс цен, тождественный агрегатно­му индексу Пааше:

(84)

т.е. веса здесь иные (q₁p₀).

Соответственно, разные веса будут иметь и средние гармони­ческие индексы цен.

Средний гармонический индекс цен, тождественный индексу Пааше имеет вид:

(85)

Тождественный индексу Ласпейреса:

(86)

На практике всегда оговаривается, по какой методике рассчи­тывается тот или иной индекс цен.

Надо иметь в виду, что для средних индексов в качестве весов могут приниматься не только абсолютные показатели стоимости продукции (например, q₀p₀ или q₁p₁), но и относительные величи­ны в виде долей или процентов отдельных групп товаров в структуре производства, потребления, товарооборота и пр.

Общий индекс цен может быть построен и как средняя геомет­рическая из агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше:

(87)

Это так называемый индекс Фишера, рекомендуемый его авто­ром в тех случаях, когда трудно отдать предпочтение весам q₀ или q₁. Поскольку в этой формуле учтены веса обоих периодов, Фишер считал этот индекс идеальным. Данный индекс часто ис­пользуют при территориальных сопоставлениях.

Следует также обратить внимание на то, что если строится ряд индексов, то они могут быть как цепными (ряд индексов, каждый из которых построен по отношению к предыдущему периоду), так и базисными (ряд индексов, построенных в сравнении с одной и той же базой). Произведение цепных индексов дает базисный индекс. Путем деления двух последовательоных базисных индексов легко получить цепной.

Особое место в статистике занимают так называемые индексы переменного и фиксированного составов, используемые при анализе динамики средних показателей.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: