Лабораторная работа № 5

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель работы – изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.

Краткая теория

Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси O(рис. 1).

Рис. 1. Физический маятник

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения.

.

I β = М,(1)

где I – момент инерции маятника;

– угловое ускорение, φ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М - сумма проекций моментов сил на направление оси вращения. Если момент сил трения много меньше момента силы тяжести, то

M = - mga ×sinj,, (2)

где т – масса маятника, g –- ускорение свободного падения, а –- расстояние от оси вращения до центра тяжести.

Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид

I j = - mga ×sinα

где ω_о² = (mga)/I,тогда получим уравнение:

. (3)

Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительно функции φ(t).

Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φ _{m .} Эту зависимость можно представить суммой бесконечного ряда, первые слагаемые которого равны

. (4)

При малых колебаниях угол φ мал, поэтому sinφ ≈ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармонических колебаний

. (5)

Решение этого уравнения:

j = j _m cos(ω₀t + α), (6)

где α - начальная фаза колебаний, ω_о = 2π /Т - циклическая частота колебаний.

Запишем формулу периода малых колебаний, как

(7)

Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен

, (8)

где I_с - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя (8) в (7), получим

(9)

Согласно этой формуле период колебаний Т одинаков при двухразличных значениях а (рис. 2): Т ₁ = Т ₂ при

, откуда

. (10)

Подставим (10) в формулу (9). Получим

(11)

Величина (12)

называется приведенной длиной физического маятника.

Сравнивая формулы (11) и (7) получим

(13)

Формула для периода малых колебаний маятника будет иметь следующий вид

. (14)

В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение свободного падения g,которое исходя из уравнения (14),

. (15)

Приведенная длина находится из формулы (12), в которой а ₁и а ₂определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.

Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т.

На рисунке приведенная длина маятника L _np = a _{1 +} a ₂ равна расстоянию между точками А ̀В или В̀ А.

Описание установки

Физический маятник представляет собой твердое тело, в нашем случае – стержень 12, с отверстиями, который монтируется на блоке 11, закрепленном на стойке 10 модуля ЛКМ-3 так, чтобы ось блока не проходила через центр масс (рис. 3). В этом случае стержень может совершать колебания в поле силы тяжести. На оси стержень закрепляют пластиковым фиксатором 13.

Рис. 3. Физический маятник на модуле ЛКМ-3

Задание I. Измерение ускорения свободного падения

1. Подготовьте измерительную систему ИСМ–1 к работе: подключите датчик угла поворота блока к разъему 1 на задней стенке прибора, переключатель 1 поставьте в положение «К1», переключатель 4 – в положение «2», переключатель 5 – в положение «цикл», переключатель 8 – в положение «+» или «–», переключатель 9 – в среднее положение. Включите питание модуля.

2. Закрепите стержень на оси блока за крайнее отверстие так, чтобы прорезь в блоке находилась вблизи нулевого деления шкалы. Примите это положение маятника за начальное х = 0. Приведите маятник в колебательное движение с амплитудой

(5 ÷ 10)°. Считайте с измерителя периода колебаний время одного полного периода Т. Данные занесите в табл. 1.

3. Переместите маятник на одно отверстие (Δ x = 20 мм) и проведите аналогичные измерения периода колебаний для всех отверстий стержня.

4. Постройте график зависимости периода колебаний физического маятника Т от координаты точки подвеса х.

Таблица 1

5. На графике (см. рис. 2)найдите расстояние между точками маятника x ₁и x ₂, cоответствующими одинаковому периоду колебаний (x₂ – x₁ = L _np) в трех пяти местах графика. Заполните табл. 2.

Таблица 2

6. Рассчитайте ускорение свободного падения по формуле (15).

7. Рассчитайте абсолютную и относительную погрешность измерений g.

Запишите результат в стандартном виде

g = (< g > ± Δ g) (м/с²), ε =... % при α= 0,95.

ЗаданиеII. Исследование ангармонических колебаний

1. Закрепите стержень на оси за второе отверстие (х = 2 см). Поставьте переключатель 5 в положение «однокр». Нажмите кнопку 7 «готов». Отведите маятник на угол 10 и плавно отпустите его. Считайте показания измерителя периода колебаний Т. Данные занесите в табл. 3.

Таблица 3

2. Повторите измерения периода колебаний, изменяя амплитуду колебаний φ _m в пределах от 10° до 90° с шагом в 10⁰-20⁰

3. Постройте график зависимости периода колебаний Т от амплитуды колебаний φ _m.

Контрольные вопросы

1. Получите уравнение гармонических колебаний для случая колебаний груза на пружинке. Дайте определение параметрам колебательного движения: смещению из положения равновесия, скорости и ускорению материальной частицы. Запишите закон изменения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы?

2. Получите уравнение колебаний математического и физического маятников. Запишите выражения для периода, частоты колебаний и приведенной длины физического маятника.

3. В чем состоит особенность оборотного физического маятника. Можно ли использовать произвольный физический маятник для определения ускорения свободного падения?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: