Тема №6 Дифференциальные уравнения 3 страница

3) Если для всех , то последовательность называется убывающей.

4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Производной функции в точке называется предел, если он существует, отношения приращения функции в точке к приращению аргумента в этой точке, когда последнее стремится к нулю , где - приращение аргумента в точке , а - соответствующее этому приращению приращение функции в этой точке.

Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел , при условии, что этот предел существует. Если функция имеет производную в некоторой точке , то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно.

Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается или . Из определения следует, что или , так как . Следовательно, .

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале. Дифференцируя, находим её первую производную . Если найти производную функции , получим вторую производную функции если последняя существует , т.е. или .Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени .

Функция имеет в точке максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Функция имеет в точке минимум, если при любом ( может быть и отрицательным).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если все ее точки лежат не выше (не ниже) любой ее касательной на этом интервале.

Точка, при переходе через которую направление вогнутости кривой меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении этой точки на бесконечность.

Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство .

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Обозначим через m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке . Разобьем отрезок на части (не обязательно одинаковые) n точками . Введём обозначения … На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции:

, , … .

Составим суммы:

=

= .

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой, соответствующей данному разбиению отрезка.

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от разбиения отрезка на части ни от выбора в этих частях промежуточных точек, то этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку , а функция называется интегрируемой по Риману на отрезке . По определению

Обозначение:

Число называется нижним пределом интегрирования, а число верхним пределом интегрирования; называется переменной интегрирования; – отрезок интегрирования.

Пусть функция определена и непрерывна на интервале . Тогда она непрерывна и, следовательно, интегрируема на любом конечном отрезке . Предел называется несобственным интегралом от функции на интервале . Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

,

при условии, если входящие в них интегралы существуют.

Пусть дано множество , и пусть указано правило (закон), по которому каждой точке ставится в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией). Функцию иногда записывают в виде .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ).

Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.

Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества .

Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Говорят, что последовательность точек сходится при к точке , если стремится к 0 при стремящемся к . В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при .

Пусть и – предельная точка множества . Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут

или при .

Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так .

Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества . Говорят, что функция непрерывна в точке , если

1) ;

2) , т.е. .

Обозначим , и . Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство .

Функция , определённая на некотором множестве называется непрерывной на множестве если она непрерывной в каждой точке множества .

Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в . Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этой области.

Зафиксируем переменную , а переменной придадим произвольное приращение . Функция получит приращение , которое называется частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Заметим, что является функцией одной переменной . Аналогично, . Функция называется непрерывной в точке по переменной ( по переменной ), если . В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.

Пусть в некоторой области задана функция . Возьмем произвольную точку из этой области и дадим переменной х приращение . Величина называется частным приращением функции по х. Рассмотрим отношение . Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции по х. Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у: .

Выражение называется полным приращением функции в точке .

Выражение называется полным приращением функции в точке , где и – бесконечно малые функции при и соответственно.

Полным дифференциалом функции называется главная, линейная относительно и часть приращения функции в точке . Для функции произвольного числа переменных имеем:

.

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности. Если поверхность задана уравнением , где – функция, дифференцируемая в точке , то касательная плоскость в точке существует и определяется уравнением: .

Частные производные по различным аргументам вида и т.д. называются смешанными производными.

Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала:

.

Аналогично определяются дифференциал третьего порядка от функции :

Пусть функция определена в некоторой области , и - произвольная точка этой области. Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: то точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции в области .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: