Примеры выполнения типового расчета
Задача 1. Пластина D ограничена линиями: y = 4 – x 2; х = 0; y = 0 (x ≥ 0; y ≥ 0) Поверхностная плотность γ 0 = 3. Решение. Область, заданная в задаче, ограничена параболой y = 4 – x 2, осями координат и лежит в первой четверти (рис. 1). Задачу будем решать в декартовой системе координат. Эта область может быть описана системой неравенств:
Рис. 1
Площадь S пластины равна (1): Так как пластина однородная, ее масса m = γ 0 S = 3· = 16. По формулам (3), (4) найдем статические моменты пластины: Координаты центра масс находятся по формуле (6): Ответ: S ≈ 5,33; m = 16; Mx = 25,6; My = 12; = 0,75; = 1,6.
Задача 2. Пластина D ограничена линиями: х 2 + у 2 = 4; х = 0, у = х (х ≥ 0, у ≥ 0). Поверхностная плотность γ (x,y) = у. Решение. Пластина ограничена окружностью и прямыми, проходящими через начало координат (рис. 2). Поэтому для решения задачи удобно использовать полярную систему координат. Полярный угол φ меняется от π/4 до π/2. Луч, проведенный из полюса через пластину, «входит» в неё при ρ = 0 и «выходит» на окружность, уравнение которой: х 2 + у 2 = 4 <=> ρ = 2.
Рис. 2
Следовательно, заданную область можно записать системой неравенств: Площадь пластины найдем по формуле (1): Массу пластины найдем по формуле (2), подставив γ (x,y) = у = ρ sin φ: Для вычисления статических моментов пластины используем формулы (3) и (4): Координаты центра масс получим по формулам (6): Ответ: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; Mx = 2,57; My = 1; = 0,53; = 1,36.
Оформление отчета
В отчете должны быть представлены все выполненные расчеты, аккуратно выполненные чертежи. Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|