Свойства правильных многогранников

Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник { p, q } и его срединную сферу S. Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро отрезком перпендикулярной прямой, касательной к S в той же точке, мы получим N ₁ ребер многогранника, двойственного многограннику { p, q }. Нетрудно показать, что гранями двойственного многогранника служат правильные q -угольники и что к каждой вершине примыкают р граней. Следовательно, многограннику { p, q } двойствен правильный многогранник { q, p }. Многограннику {3, 3} двойствен другой многогранник {3, 3}, конгруэнтный исходному (поэтому {3, 3} называется самодвойственным многогранником), многограннику {4, 3} двойствен многогранник {3, 4}, а многограннику {5, 3} – многогранник {3, 5}. На рис. 3 многогранники {4, 3} и {3, 4} показаны в положении двойственности друг другу. Кроме того, каждой вершине, каждому ребру и каждой грани многогранника { p, q } соответствует единственная грань, единственное ребро и единственная вершина двойственного многогранника { q, p }. Следовательно, если { p, q } имеет N ₀ вершин, N ₁ ребер и N ₂ граней, то { q, p } имеет N ₂ вершин, N ₁ребер и N ₀ граней.

Так как каждая из N ₂ граней правильного многогранника { p, q } ограничена р ребрами и каждое ребро является общим ровно для двух граней, то всего имеется pN ₂/2 ребер, поэтому N ₁ = pN ₂/2. У двойственного многогранника { q, p } ребер также N ₁ и N ₀ граней, поэтому N ₁ = qN ₀/2. Таким образом, числа N ₀, N ₁ и N ₂ для любого правильного многогранника { p, q } связаны соотношением

Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р -угольной призмы. Пусть l – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/ р градусов является симметрией. Пусть, далее, π – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости π (движение, переводящее любую точку P в точку P', такую, что p пересекает отрезок PP' под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости π с поворотом вокруг прямой l, мы получим еще одну симметрию.

Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/ р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/ р градусов. Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет. Докажем это.

Обозначим через p число сторон у грани правильного многогранника. Так как двугранные углы равны, то все пространственные углы в правильном многограннике также равны. Поэтому в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и тоже число граней, которое мы обозначим через q.

Используя правильность граней и равенство двугранных углов, древние греки легко получили, что для правильных многогранников пары целых чисел (p, q) могут быть лишь такими (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3). Однако благодаря теореме Эйлера можно получить те же пять пар чисел не только для правильных многоугольников, но и вообще для произвольных выпуклых многогранников, у которых каждая грань имеет одинаковое число p сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число q граней.

Действительно, так как каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а каждая грань имеет ровно p ребер, то p · Г равно удвоенному числу ребер в многограннике: p · Г = 2Р. Поскольку каждое ребро имеет ровно два конца, а в каждой вершине сходится ровно q ребер, то q · В = 2Р. Итак,

Г = 2Р/ p и В = 2Р/ q (4)

Подставим отношение (4) в формулу Эйлера:

2P/ q + 2P/ p = P + 2 (5)

Найдем Р из (5):

P = 2 pq /(2 · (p + q) - pq) (6)

Знаменатель дроби в (6) равен 4 - (p - 2)(q - 2). а так как знаменатель положителен, то (p - 2)(q - 2)<4. С другой стороны, как число p сторон у грани, так и число q граней, сходящихся в вершине, не меньше 3. Поэтому уравнение (5) при условии p ≥3, q ≥3 имеет пять и только пять целочисленных решений (p, q): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3).

Отсюда следует, что комбинаторно различных многогранников, у которых все грани одноименные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней, не более пяти.

Вернемся теперь к правильным многогранникам. Соответствующая правильному многограннику пара чисел (p, q) называется его символом Шлефли. У правильного многогранника может быть один из пяти символов Шлефли. Теперь покажем, что для каждого из символов Шлефли существует правильный многогранник.

Л егко убедиться, что символу Шлефли (3, 3) соответствует правильный тетраэдр, а символу (4, 3) - куб. К многограннику с символом Шлефли (3, 4) - октаэдру - легко прийти от куба. Нужно взять центры квадратных граней куба - их шесть. На каждой тройке центров граней, прилегающих к каждой из 8 вершин куба, построим по правильному треугольнику (рис.16). Легко проверить, что все двугранные углы между гранями равны. Этот многогранник правильный. Он имеет восемь граней и называется октаэдром.

Несколько сложнее убедиться в существование правильного многогранника, соответствующего символу (3, 5), т. е. многогранника с треугольными гранями, сходящимися по пять в каждой вершине. Возьмем три равных золотых прямоугольника, т.е. прямоугольника с соотношением сторон ( +1)/2. Расположим их во взаимно перпендикулярных плоскостях, как показано на рисунке 17. Пусть стороны золотых прямоугольников для определенности равны + 1 и 2. Возьмем произвольную вершину А₁ одного из прямоугольников. Существуют в точности пять вершин этих прямоугольников, а именно вершины В1, А2, В3, D3, D2 находящиеся от А₁на одинаковом расстоянии 2. По теореме Пифагора можно установить, что треугольники А₁В₁А₂, А₁А₂В₃, А₁В₃D₃, А₁D₃D₂, А₁D₂В₁ правильные. Кроме того, любые два смежных треугольника образуют равные двугранные углы. Точно такие правильные треугольники появляются во всех 12 вершинах прямоугольников, по пять в каждой. Таким образом, существует правильный многогранник, соответствующий символу (3, 5). Этот многогранник называется икосаэдром, что в переводе с греческого означает двадцатигранник. У икосаэдра 12 вершин.

Чтобы построить правильный многогранник с символом (5, 3), возьмем в качестве вершин этого многогранника центры всех двадцати треугольных граней икосаэдра. Центры пяти треугольников, сходящихся в той или иной вершине икосаэдра, образуют вершины плоского правильного пятиугольника. Всего таких пятиугольников столько же, сколько вершин у икосаэдра - двенадцать. Эти правильные пятиугольники, сходящиеся по три в каждой вершине (в центре треугольной грани икосаэдра), образуют двенадцатигранник - додекаэдр. Все двугранные углы у этого додекаэдра равны. Поэтому этот многогранник является правильным.

Два правильных многогранника - октаэдр и додекаэдр - строились при помощи других многогранников - куба и икосаэдра. Причем каждая вершина, скажем, октаэдра соответствовала некоторой вершине куба. То же самое можно сказать и о паре многогранников икосаэдр - додекаэдр.

Два многогранника называются дуальными, если между множеством граней одного из них и множеством вершин другого существует взаимно однозначное соответствие, причем такое, что если две грани первого из них смежные ребру, то соответствующие этим граням вершины второго многогранника соединяются с ребром. Следует отметить, что у пары дуальных многогранников число вершин одного равно числу граней другого, а ребер у них поровну.

Дуальные многогранники состоят лишь из пяти- и шестиугольников, причем в каждой вершине сходятся по три грани. Такие многогранники называются фуллеренами. Изучение фуллеренов очень важно для приложений в химии, медицине, архитектуре. Теорема Грюнбаума в переводе на язык фуллеренов означает, что во всяком фуллерене имеется в точности двенадцать пятиугольников, а шестиугольников может быть какое угодно число, не меньше двух.

Чрезвычайно важная задача - как перечислить всевозможные структуры фуллеренов с наперед заданным числом n шестиугольников и сколько их в зависимости от n - остается актуальной и по сей день.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: