ÒÎÐ 5 ñòàòåé: Ìåòîäè÷åñêèå ïîäõîäû ê àíàëèçó ôèíàíñîâîãî ñîñòîÿíèÿ ïðåäïðèÿòèÿ Ïðîáëåìà ïåðèîäèçàöèè ðóññêîé ëèòåðàòóðû ÕÕ âåêà. Êðàòêàÿ õàðàêòåðèñòèêà âòîðîé ïîëîâèíû ÕÕ âåêà Õàðàêòåðèñòèêà øëèôîâàëüíûõ êðóãîâ è åå ìàðêèðîâêà Ñëóæåáíûå ÷àñòè ðå÷è. Ïðåäëîã. Ñîþç. ×àñòèöû ÊÀÒÅÃÎÐÈÈ:
|
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïîäáîðà ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ è ìåòîä âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ (ìåòîä Ëàãðàíæà). Êàæäûé ìåòîä èìååò ñâîþ ñôåðó ïðèìåíèìîñòè, äîñòîèíñòâà è íåäîñòàòêè. Íèæå ïðèâåäåíû îïèñàíèÿ ìåòîäîâ, ñîïðîâîæäåííûå ïðèìåðàìè.
Ìåòîä ïîäáîðà ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå n -ãî ïîðÿäêà ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëîâûìè êîýôôèöèåíòàìè . (10) Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ èìååò âèä (11) ãäå ìíîãî÷ëåíû ïî ñòåïåíÿì è èõ ñòàðøèå ñòåïåíè, òî óðàâíåíèå (10) íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñî ñïåöèàëüíîé ïðàâîé ÷àñòüþ, à ôóíêöèþ êâàçèìíîãî÷ëåíîì, èëè êâàçèïîëèíîìîì. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10) òàêæå ïðåäñòàâèìî â âèäå êâàçèìíîãî÷ëåíà: (12) Êàê ñëåäóåò èç çàïèñè, ÷àñòíîå ðåøåíèå ñîäåðæèò äâà íîâûõ ïàðàìåòðà è äâà ìíîãî÷ëåíà è ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïîäëåæàùèõ îïðåäåëåíèþ. Ïàðàìåòð ðàâåí íàèáîëüøåé èç ñòåïåíåé ìíîãî÷ëåíîâ è . ×òîáû íàéòè ïàðàìåòð , íóæíî ñîñòàâèòü âñïîìîãàòåëüíîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû ïðè â ôóíêöèÿõ , Åñëè ÷èñëî íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíèì êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (7) äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ n -ãî ïîðÿäêà (6), òî ïîëàãàþò Åñëè ÷èñëî ñîâïàäàåò ñ êàêèì-ëèáî êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ãäå êðàòíîñòü ýòîãî êîðíÿ. Êðàòêî ìîæíî îïèñàòü òàê:
Ìíîãî÷ëåíû è èìåþò îäèíàêîâóþ ñòåïåíü . ×òîáû íàéòè ýòè ìíîãî÷ëåíû, íóæíî çàïèñàòü èõ ñ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè: (13) Çàòåì ÷àñòíîå ðåøåíèå , ñîñòàâëåííîå ïî ôîðìóëå (12), ïîäñòàâëÿþò â (10), è èç óñëîâèÿ òîæäåñòâåííîãî ðàâåíñòâà ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ íàõîäÿò êîýôôèöèåíòû è ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïî ôîðìóëå (5) ïðåäñòàâëÿþò â âèäå
Àëãîðèòì 2 ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ñïåöèàëüíîé ïðàâîé ÷àñòüþ
1. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (ïðèìåíèòü àëãîðèòì 1). 2. Ìåòîäîì ïîäáîðà íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäàííîãî ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (ïðèìåíèòü ôîðìóëó (12)). 3. Ñîñòàâèòü îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïî ôîðìóëå .
Ìåòîä âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ (ìåòîä Ëàãðàíæà)
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå n -ãî ïîðÿäêà ñ êîýôôèöèåíòàìè , ÿâëÿþùèìèñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ôóíêöèÿìè ïåðåìåííîé õ: . (14) Ïóñòü äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ n -ãî ïîðÿäêà èçâåñòíà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé . Òîãäà ñîãëàñíî ìåòîäó âàðèàöèé ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâèìî â âèäå (15) ãäå − íåèçâåñòíûå íàïåðåä ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå óðàâíåíèé: . (16) Ýòó ñèñòåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ . Ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òàê êàê åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí îïðåäåëèòåëþ Âðîíñêîãî, êîòîðûé îòëè÷åí îò íóëÿ â ñèëó ôóíäàìåíòàëüíîñòè ñèñòåìû ôóíêöèé . Èç ñèñòåìû (16) íàéäåì , à çàòåì, èíòåãðèðóÿ íàéäåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ, íàéäåì è ñàìè ôóíêöèè . Ïîäñòàâèì èõ â (15) è ïîëó÷èì ðåøåíèå. Ìåòîä âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü êàê ÷àñòíîå, òàê è îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè ïðè èíòåãðèðîâàíèè âûðàæåíèé äëÿ ïðîèçâîäíûõ ïîñòîÿííûì ïðèäàòü êîíêðåòíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èì ïî ôîðìóëå (15) ÷àñòíîå ðåøåíèå. Åñëè ïîñòîÿííûå íå ôèêñèðîâàòü, òî ôîðìóëà (15) äàñò îáùåå ðåøåíèå. Ïðîèëëþñòðèðóåì îïèñàííûé ìåòîä íà ïðèìåðàõ. Ïðèìåð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå □ Äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì óðàâíåíèåì 2-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñðàâíèâàÿ ñ (14), ïîëó÷àåì: . Ê ýòîìó óðàâíåíèþ íå ïðèìåíèì ìåòîä ïîäáîðà ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ, òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü íå ÿâëÿåòñÿ êâàçèìíîãî÷ëåíîì. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äàííîìó ëèíåéíîìó íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ, èìååò âèä Åãî ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñîñòîèò èç äâóõ ôóíêöèé .  ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì Ëàãðàíæà çàïèøåì ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå (15): . Ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå (16): Èíòåãðèðóåì ïðàâûå ÷àñòè: ãäå − ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîäñòàâëÿåì ôóíêöèè â îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ: . Êàê âèäèì, îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ôóíêöèè , ÿâëÿþùåéñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. ■
Íå íàøëè, ÷òî èñêàëè? Âîñïîëüçóéòåñü ïîèñêîì:
|