Раздел 1. Использование дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ – раздел математической ста­тистики, изучающий степень влияния одного или нескольких фак­торных признаков на результативный признак при небольшом числе наблюдений. Аналогичная задача решается и в корреляционном анализе. Однако отличие их состоит в том, что измерение изменчивости в дисперсионном анализе осуществляется на основе исчисления дисперсий.

В дисперсионном анализе используются одно- и многофак­торные статистические эксперименты. Исходные данные изложены в комбинационной таблице, в которой определена (представ­лена) структура качественно разнородной статистической со­вокупности. Дисперсионный анализ применяют для установления существенности влияния качественных факторов на исследуе­мую величину.

Суть анализа заключается в разложении общей вариации (дис­персии выходного параметра) на независимые составляющие, каждая из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. При этом из общей дисперсии, отражающей вли­яние на результативный признак всех возможных причин, выде­ляется факторная дисперсия, идентичная межгрупповой и выра­жающая количественно изменчивость результативного признака (выходного параметра изделия или технологического процесса) под влиянием изучаемого фактора. Кроме того, выделяется слу­чайная, или остаточная, дисперсия, вызванная не рассматривае­мыми в данном опыте факторами, идентичная внутригрупповой.

Общая дисперсия выходного параметра представ­ляет собой сумму квадратов отклонений всех значений результа­тивного признака от его общей средней арифметической:

,

где х_i – отдельные значения результативного признака;

х̄ – общая средняя арифметическая.

Общая дисперсия всегда больше и факторной, и остаточной дисперсий.

Факторная дисперсия – сумма квадратов отклонений частных (групповых) средних от общей средней, умноженных на число единиц в каждой группе:

.

Остаточная (случайная) дисперсия – сумма групповых сумм квадратов отклонений всех вариантов результативного признака в группах от средних значений признака в них:

.

Используя правило сложения дисперсий, имеем

.

На основе соотношения факторной и общей дисперсий исчис­ляют корреляционное отношение, которое показывает степень вли­яния изучаемых факторов на результативный признак:

.

Исчисление дисперсий в расчете на одну степень свободы ва­риации производится для выявления достоверности вывода о вли­янии факторов на результативный признак. Для этого исчисляется отношение факторной дисперсии к остаточной (случайной), рас­считанных на одну степень свободы вариации. Это отношение по­лучило название F-критерия Фишера:

.

Общая схема дисперсионного анализа выглядит следующим образом:

1. нахождение общей дисперсии комплекса;

2. определение факторной дисперсии;

3. исчисление корреляционного отношения;

4. определение остаточной дисперсии;

5. проверка равенства сумм квадратов отклонений для соответ­ствующих дисперсий:

;

6. вычисление числа степеней свободы вариации для диспер­сии комплекса, факторной и остаточной дисперсий с соблюдени­ем равенства

;

7. нахождение дисперсий в расчете на одну степень свободы;

8. расчет величины ;

9. нахождение критических (табличных) значений F;

10. сравнение расчетных и критических значений F. Вывод о достоверности влияния факторов на результативный при­знак. При заданной вероятности (уровне значимости) и дан­ных числах степеней свободы возможны следующие соотноше­ния:

– влияние изучаемого фактора существенно;

^— различие вычисленных дисперсий случайно, т.е.

влияние изучаемого фактора недостоверно.

Задание 1. 4 фирмы – поставщики сырья для текстильной промышленности предлагают свою продукцию ткацкой фабрике. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания (прочность на разрыв) на определение прочностных характеристик. Результаты испытаний приведены в таблице.

Необходимо выяснить: существенно ли влияние различных партий сырья на прочностные характеристики.

Задание 2. Выбраны три уровня температуры (фактор А) и два уровня скорости конвейера перемещения изделия(фактор В) при производстве. Контролировалось количество брака.

Провести дисперсионный анализ этого эксперимента и дать заключение.

Задание 3. В таблицеприведены суточные привесы (г) отобранных для исследования 18 поросят в зависимости от метода содержания поросят (фактор А) и качества их кормления (фактор В). Определить существенность (достоверность) влияния каждого фактора и их взаимодействия на суточный привес поросят.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: