Частные производные функции двух переменных. Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра высшей математики

Дифференциальное исчисление

Функций нескольких переменных

Методические указания и индивидуальные задания

К контрольной работе №3

Волгоград 2011

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

Основные понятия

Пусть D – некоторое множество пар (x, y) действительных чисел или геометрически – множество точек плоскости x О y.

Определение 1. Переменная величина z называется функцией независимых переменных x, y, если каждой совокупности (x, y) их значений из множества D по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение величины z.

Для обозначения функции двух переменных используют символы:

z=f (x, y), z=z (x, y) и др.

Определение 2. Множество D, на котором задана функция z=f (x, y), называется областью определения или областью существования этой функции.

Областью определения функции двух переменных может быть вся плоскость x О y, или часть ее, или совокупность нескольких частей.

Пусть z – значение функции z=f (x, y), в точке P (x, y). Дадим x и y приращения Δ x и Δ y, тогда функция получит приращение

Δ z=f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y),

называемое полным приращением функции в точке Р.

Если изменяется только x, а аргумент y остается неизменным, то функция z получит приращение

=f (x + Δ x, y) - f (x, y),

которое называется частным приращение функции z=f (x, y) по переменной x в точке Р.

Аналогично определяется частное приращение функции z по переменной y:

=f (x, y + Δ y) - f (x, y).

Частные производные функции двух переменных

Определение 3. Частной производной функции z=f (x, y) по переменной x называется предел отношения частного приращения к приращению Δ x, когда Δ x стремится к нулю.

Для обозначения частной производной по x используют символы

и др.

Таким образом, по определению

Аналогично определяется частная производная по y:

Частная производная находится по правилам дифференцирования функции одной переменной, причем другая переменная рассматривается в данном случае как постоянная.

Пример 1. Найти частные производные функций: 1) z=x ² y ³ +sin x - e^y;

2) z=x ² ln y + 5 x – arctg y; 3) z=x^y; 4)

Решение. Считая y постоянной, находим производную по x:

Считая x постоянной величиной, находим производную по y:

2. ;

3. При дифференцировании по x функция z является степенной, а при дифференцировании по y – показательной:

4. Здесь u – функция трех переменных x, y, z. Дифференцируя ее по аргументу x, считаем y и z постоянными, тогда

Аналогично, считая u функцией только y, затем только z, получим:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: