Формула Бине и некоторые ее применения

Напомним (см. 11.3, формула (5)), что производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи имеет вид

F (z) = F 0 + F 1 z + F 2 z 2 + … =

z.

1 − z − z 2

Корнями характеристического многочлена

k (z) = z 2 – z –1

являются числа

б  1 5

и в  1− 5.

Число Фибоначчи как функция своего номера

представляется в виде:

или

Fn =

б n − в n

5

, (4)

n

 1 5 

n

 1− 5 

  − 

2 2

Fn 

   ,

5

Формула (4) называется формулой Бине.

Так как 2 =  + 1, то любую степень числа  можно представить в виде целочисленной комбинации a  + b. Оказывается, коэффициентами служат числа Фибоначчи:

 k +2 = Fk +2 + Fk +1.

Формула Бине позволяет убедиться в этом прямой проверкой.

Приведем несколько оценок чисел Фибоначчи.

Число Фибоначчи Fn есть ближайшее целое к чи слу.

Следовательно,

б n − в n б n

 −

5 5

5 2

Из (4) вытекает также следующее свойство.

С ростом n числа Фибоначчи неограниченно сближаются с

членами геометрической прогрессии с начальным членом 1 и

знаменателем  

5  1:

2

 n 

lim  F − б

  0.

Отношение соседних чисел Фибоначчи (следующего к

Действительно,

2 ≈ 0,618.

5  1

Fn 

б n − в n

 1− (в / б).

Fn 1

б n 1 −в n 1

б − в(в / б) n

Так как / < 1, то (/) n с ростом n стремится к нулю.

Следовательно,

lim

Fn  1

≈ 0,618.

n →∞ Fn 1 б

Из предыдущего равенства следует, что

lim

Fn  1

≈ 0,382.

n →∞ Fn  2 б 2

Установим справедливость формулы, которая дает представление чисел Фибоначчи в виде суммы биномиальных коэффициентов, и как ее следствие получим одно тождество для биномиальных коэффициентов.

При любом n справедливо следующее равенство:

Fn 1 

∑ C k − k. (6)

Заметим сначала, что при четном n равенство (6) имеет вид

0 1 n / 2

а при нечетном –

Fn 1  Cn

 Cn −1 ... Cn / 2,

0 1 (n −1) / 2

Например:

Fn 1  Cn

 Cn −1 ... C (n 1) / 2.

0 1 2

0 1 2

F 5  C 4

 C 3  C 2;

F 6  C 5

 C 4  C 3.

Для доказательства (6) воспользуемся производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи:

z

F (z) = F 0 + F 1 z + F 2 z 2 +… =

1− z − z 2

. (7)

Используя формулу для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем правую часть равенства (7):

z

1− z − z 2

 z ⋅

1− (z  z 2)

= z (1 + (z + z 2) + (z + z 2)2 +…) =

низких, чем n + 1. Так как

z p 1 ∑ C k z k k ≤ p

 ∑ C k zk  p 1,

k ≤ p

то коэффициент при zn +1 получается суммированием по p всех

C k, что k + p +1 = n + 1 и k ≤ p.

Последние условия означают, что p = n – k и 2 k ≤ n. Таким

C k k, 2 k ≤ n, и

получаем сумму, стоящую в правой части (6), что и доказывает это равенство.

С учетом формулы Бине равенство (7) может быть записано

следующим образом:

1 1

n 1

5 

1 −

n 1

5 

−  .

Золотое сечение

Разделим отрезок AB на части так, чтобы большая часть была бы средним пропорциональным между всем отрезком и

меньшей его частью. Иными словами, мы ищем точку C такую,

что AC: BC = BC: AB (рис. 1).

A C D B

Рис. 1

Пусть BC = x ⋅ AB. Тогда AC = x ⋅ BC = x 2⋅ AB. Так как

AC + BC = AB, то

x 2 + x = 1. (9)

Уравнение (9) имеет два решения:

− 1 

5 ≈ 0,618

и −1−

2

5 ≈ −1,618.

Точка C соответствует положительному решению

x  −1 5.

Разбиение отрезка AB на две части точкой C называют

золотым сечением этого отрезка.

Точно так же можно получить золотое сечение отрезка AB

точкой D такой, что BD: AD = AD: AB.

Оказывается, точка D дает золотое сечение отрезка BC.

Действительно:

BC = x ⋅ AB, AD = x ⋅ AB, BD = (1 – x)⋅ AB,

и, значит, CD = BC – BD = (2 x – 1)⋅ AB. Таким образом,

CD  2 x −1;

BD  1− x.

BD 1 − x BC x

Так как x служит корнем уравнения x 2 + x – 1 = 0, то, как

легко проверить,

2 x −1  1− x. Следовательно,

1 − x

−1 5

x

CD 

BD

BD.

BC

Заметим, что x  2

– это предел, к которому стремится

отношение соседних чисел Фибоначчи Fn / Fn +1. Приближение золотого сечения, изображенного на рис. 1, можно получить,

взяв точки C ′ и D ′ такие, что



AC ′  1−



F 

Fn  2 

Fn

Fn  2

AB;

AD ′  F n 1

Fn 2

AB.

К «золотому» пределу

−1 5

 1, где

б

б  1 5

, отношение

un / un +1 стремится для любой последовательности с положительными членами, удовлетворяющей рекуррентному соотношению un +2 = un +1 + un. В самом деле, члены любой такой последовательности имеют вид

un = a  n + b  n,

где

б  1 5

и в 

1− 5

– корни характеристического уравнения

x 2 – x – 1 = 0. Поскольку все члены последовательности (un)

положительны, a ≠ 0. Так как ||  1, то () n →0 при n →∝.

Следовательно,

б n  в n

1 b в n

un  a b

 a б

un 1

a б n 1  b в n 1

б b в n в б

a б

Таким образом, аппроксимировать золотое сечение можно с помощью любой положительной последовательности (un), члены которой удовлетворяют рекуррентному соотношению un +2 = un +1 + un.

Золотое сечение используется в техническом анализе при

торговли ценными бумагами на инвестиционных рынках.

Центральную роль в так называемом анализе Фибоначчи играют Фиб-узлы (или уровни Ди Наполи). На ценовой волне берутся две крайние точки A и B и отрезок AB делится точками C и D (рис. 2) подобно тому, как это сделано на рис. 1. Полученные точки называются Фиб-узлами. Считается, что в этих точках происходит значительное сопротивление изменению цен при обратном движении.

B

D (F 3) 0.618

C (F 5)

0.382

A

Рис. 2

В качестве Фиб-узлов используются также близкие к ним точки – F 3 и F 5 – Фиб-узлы, расположенные на уровнях 3/8 и 5/8:

F 3 

A  F 4  B − A ;

F 6

F 5 

A  F 5  B − A .

F 6

Некоторое теоретическое объяснение эмпирически обоснованному выбору Фиб-узлов дается в следующем параграфе.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: