Элементы теории измерений

В процессе принятия решений ЛПР и эксперты формируют

ситуации, цели, ограничения, варианты решений и производят

измерение их характеристик. Эти измерения могут носить качественный

или количественный характер и могут быть объективными или

субъективными. Объективные качественные или количественные

измерения производятся измерительными приборами, действие которых

основано на использовании физических законов. Теория объективных

измерений достаточно хорошо разработана.

Субъективные измерения производятся человеком, который

выполняет как бы роль измерительного прибора. Естественно, что при

этом на результаты измерений влияют психологические особенности

мышления человека.

Теория измерений позволяет с единых позиций рассматривать как

объективные, так и субъективные измерения. В этой теории

предлагаются конструктивные методы субъективных измерений.

Рассмотрим основные положения теории измерений.

Измерение определяется как процедура сравнения объектов по

определенным показателям (признакам). В это определение включены

три понятия: объекты, показатели и процедура сравнения. Объектами

могут быть предметы, явления, события, решения и т.п. В качестве

показателей сравнения объектов используются пространственные,

временные, физические, физиологические, социологические,

психологические и другие свойства и характеристики объектов.

Процедура сравнения включает определение отношений между

объектами и способ их сравнения. Введение конкретных показателей

сравнения позволяет установить отношения между объектами,

например: “больше”, “меньше”, “равны”, “хуже”, “предпочтительнее” и

т.д. Существуют различные способы сравнения объектов между собой,

например, последовательно с одним объектом, принимаемым за эталон,

или друг с другом в произвольной или упорядоченной

последовательности.

Для формального описания множества объектов и отношений

между ними при фиксированных показателях сравнения вводится

понятие эмпирической системы с отношениями:

M=<X, R>,

где X = (x1,x2,…,xm) - множество объектов, в качестве которых

могут рассматриваться, например, ситуации, цели, решения и т.п.;

R=(R1, R2,…, Rs) - множество отношений между объектами.

Отношение является самой общей формой описания связей между

объектами. Частным случаем отношения является функция. Запись вида

xiRkxj означает, что объекты xi и xj находятся между собой в отношении

Rk. Такое отношение называется бинарным (двухместным), поскольку

оно связывает между собой два объекта. Если отношение имеет место

одновременно между тремя объектами, то оно называется тернарным

(трехместным).

Рассмотрим основные типы бинарных отношений, используемых

при описании взаимосвязей объектов в задачах принятия решений.

Будем рассматривать объекты xi из множества X и некоторое бинарное

отношение R.

Если все объекты из множества X сравнимы между собой по этому

отношению, то отношение R называется полным (совершенным,

линейным). Если не все объекты сравнимы по отношению R, то оно

называется неполным (несовершенным, нелинейным, частичным).

Различают следующие типы отношений: эквивалентности,

строгого порядка и нестрогого порядка (квазипорядка).

Отношение эквивалентности содержательно интерпретируется как

взаимозаменяемость, одинаковость объектов. Для обозначения

отношения эквивалентности используется символ “~”, т.е. запись вида

xi ~ xj означает эквивалентность объектов. Отношение эквивалентности

порождает разбиение множества объектов на классы. В каждый класс

попадают эквивалентные, т.е. неразличимые по показателю (или группе

показателей) объекты.

Отношение строгого порядка может интерпретироваться как

предпочтительность одного объекта по сравнению с другим объектом,

например, “важнее”, “лучше”, “выше”, “больше” и т.п. Для обозначения

отношения строгого порядка используется символ “ φ ”, например, если

объект xi строго предпочтительнее объекта xj, то это записывается в виде

xi φ xj. Отношение полного строгого порядка порождает строгое

упорядочение объектов по предпочтительности.

Отношение нестрогого порядка есть объединение отношений

строгого порядка и эквивалентности. Для обозначения этого отношения

применяется символ «φ ~». Запись xi φ ~ xj означает, что объект xi либо

строго предпочтительнее, либо эквивалентен объекту xj; другими

словами, можно сказать, что объект xi не хуже объекта xj. Отношение

полного нестрогого порядка порождает строгое упорядочение классов

эквивалентных объектов.

Разнообразие возможных объектов, показателей сравнения и видов

отношений, встречающихся в реальных измерениях, привело к

необходимости установления универсальной системы с отношениями.

В качестве такой системы используется числовая система:

N=<C, S>,

где C – множество действительных чисел; S=(S1, S2,…, Ss) –

множество отношений между числами. Числовая система называется

полной, если С есть множество всех действительных чисел.

Отношениям строгого и нестрогого порядка между объектами

соответствуют отношения строгого и нестрогого неравенства между

числами.

Числовая система используется для унификации процесса

измерения. Измерение заключается в отображении объектов

эмпирической системы на множество чисел в числовой системе таким

образом, чтобы отношения между числами, отображающими объекты,

сохраняли отношения между самими объектами. Схематически это

изображено на рис. 3.1.

M=<X, R> Рис. 3.1

⇓ f Схема измерения

N=<C, S> объектов

С помощью отображения (функции) f каждому объекту

эмпирической системы приписывается число

ci= f (xi).

При таком отображении отношения между числами должны

сохранять отношения между объектами. Например, если xi φ ~ xj, то

ci= f (xi) ≥ cj= f (xj).

Представление эмпирической системы с помощью числовой

системы осуществляется с использованием различных шкал.

Шкалой называется совокупность эмпирической системы M,

числовой системы N и отображения f:

Ш=<M, N, f >.

Один и тот же объект эмпирической системы хi может быть

отображен разными числами с помощью разных шкал, различающихся

функциями отображения:

с′i = f1 (хi), с″i = f2 (хi), ….

В зависимости от вида и свойств функции отображения f

различают типы шкал измерений.__

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: