Координатный способ задания движения точки

Рассматривается движение точки М в неподвижной системе отсчёта OXYZ (рис. 2.1). Единичные векторы (орты) i, j, k показывают положительные направления отсчёта координат X, Y, Z. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, которую называют траекторией движения точки. По виду траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Положение точки М в неподвижной системе отсчёта (НСО) определяется тремя координатами X, Y, Z. При движении точки М её координаты изменяются с течением времени. Следовательно, коорди
наты X, Y, Z движущейся точки М являются функциями времени t.

Систему трёх уравнений X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) называют уравнениями движения точки в пространстве в декартовых координатах.

Пример: X = 10·t² + 1; Y = 7·t³ + t² + 1; Z = 10·sin(p·t). Действительно, имея эти уравнения, можно для любого момента времени найти значения соответствующих координат X, Y, Z и по ним определить положение точки в пространстве в этот момент времени.

Движение точки М на плоскости (рис. 2.2) определяется двумя уравнениями: X = f₁(t); Y = f₂(t). Эти выражения называют уравнениями движения точки на плоскости в декартовой системе отсчёта.

Пример. Заданы уравнения движения точки в плоскости OXY. X = 3·t² + t² + t; Y = 7·cos(p·t).

Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, рассматривают как параметрические уравнения траектории точки. При исключении параметра t из уравнений движения получают уравнение траектории точки в координатной форме (Y = f(t)).

Пример. Заданы уравнения: X = 4·t (см); Y = 16·t² – 1 (см) движения точки в плоскости OXY. Определить вид траектории движения точки, построить её график и найти положение точки на траектории движения в момент времени t₁ = 0,5 с.

Решение. Из уравнения X = 4·t находим t = X/4. Значение времени t подставляем в уравнение Y = 16·t² – 1. Получаем

Y = 16·(X/4)² – 1 = X² – 1.

Выражение Y = X² – 1 есть уравнение параболы (y= a·x²+b·x+c) с вершиной в точке с координатами (0, – 1). В момент времени t₁ = 0,5 с определяем координаты:

X(t₁) = 4·t₁ = 4·0,5 = 2 см > 0;

Y(t₁) = 16·(t₁)² – 1 = 16·(0,5)² – 1 = 3 см >0.

Показываем положение точки на траектории её движения (рис. 2.3).

Пример. Дано: X = 3·sin(p·t), см (1); Y = 3·cos(p·t), см (2); t₁ = 0,25 c. Определить вид траектории движения точки и её положение на траектории движения в момент времени t₁.

Решение. Уравнения движения точки представим в следующем виде: (X)² = (3·sin(p·t))² (1^I); (Y)² = (3·cos(p·t))² (2^I). Для решения используем тригонометрическую формулу sin²(α) + cos²(α) = 1.

Складывая левые и правые части уравнений (1^I) и (2^I), получим (X)² + (Y)² = 3²·(sin²(p·t) + cos²(p·t)) = 3²·1 или (X)² + (Y)² = 3². Известно, что уравнение (X)² + (Y)² = R² есть уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат. Таким образом, точка
движется по окружности радиусом R = 3 см (рис. 2.4).

Определяем положение точки на траектории движения в момент времени t₁.

X(t₁) = 3·sin(p·t₁) = 3·sin(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.

Y(t₁) = 3·cos(p·t₁) = 3·cos(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.

Показываем точку на траектории её движения (см. рис. 2.4).

ВНИМАНИЕ! Если точка не попадает на траекторию её движения, то:

1) неверно определен вид траектории движения;

2) неверно рассчитаны значения координат X(t₁), Y(t₁).

Прямолинейное движение точки М определяется одним уравнением движения X = f(t).

Пример. Дано: X = 10·t² + sin(2·p·t) + 3, см (рис. 2.5).

Определить положение точки на траектории движения в начальный момент времени t₀ = 0 и в момент времени t₁ = 1 c.

Решение.

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

Скорость точки всегда направлена по касательной к траектории её движения.

Пусть заданы уравнения движения точки в пространстве: X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) (рис. 2.6).

Разложим вектор V скорости точки на составляющие по координатным осям: V = V _OX + V _OY + V _OZ. Векторы V _OX, V _OY, V _OZ называют компонентами скорости по координатным осям. Вектор V скорости можно выразить векторным равенством:

V = i · + j · + k · ,

где , , – проекции скорости V на соответствующие координатные оси.

В инженерных расчётах рекомендуется использовать следующие обозначения проекций скорости V на координатные оси: ; ; .

Сравнивая последние формулы, запишем равенство

V = V _OX + V _OY + V _OZ = i · + j · + k · .

Из этого равенства имеем:

V _OX = i · ; V _OY = j · ; V _OZ = k · .

Проекции скорости на координатные оси системы отсчёта равны первым производным по времени от соответствующих уравнений движения:

= dX/dt; = dY/dt; = dZ/dt,

где точка (·) означает символ однократного дифференцирования функции по времени.

Зная проекции скорости на координатные оси, находят модуль скорости по формуле

.

Ориентацию вектора скорости V в системе отсчёта OXYZ определяют по направляющим косинусам:

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V; cos(V, k) = / V.

Движение точки в плоскости OXY (рис. 2.7) задаётся двумя уравнениями движения: X = f₁(t); Y = f₂(t).

Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются по формулам:

;

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V.

В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на координатную ось ОХ.

V = | | = |dX/dt|.

При > 0 точка движется в сторону увеличения координаты Х, при < 0 – противоположно направлению оси.

Ускорение точки

Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения величины и направления скорости.

Ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения.

Рассматривается движение точки на плоскости в системе отсчёта OXY (рис. 2.9) по заданным уравнениям движения X = f₁(t); Y = f₂(t).

Согласно рис. 2.9 запишем векторное равенство

а = а _ОХ +a _OY = i · + j · ,

где а – ускорение точки; а _ОХ, a _OYкомпоненты ускорения по координатным осям; , – проекции ускорения на координатные оси.

Здесь две точки (··) означает символ двойного дифференцирования функции по времени.

Распространяя полученный результат на пространство (система отсчёта OXYZ), получим

а = а _ОХ + a _OY + a _OZ= i · + j · + j · .

Как правило, проекции ускорения а на координатные оси в технической литературе обозначаются так: , , .

Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих уравнений движения или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

= d₂X/dt² = ;

= d₂Y/dt² = ;

= d₂Z/dt² = .

Модуль ускорения находится по следующим формулам:

a = (точка движется в пространстве);

a = (точка движется в плоскости);

a = | |(точка движется по прямой линии).

Направляющие косинусы находятся по следующим формулам:

cos(a, i) = / a; cos(a, j) = / a; cos(a, k) = / a.

Зная направляющие косинусы, вектор ускорения а ориентируют в пространстве.

Рассматривается движение точки по прямой линии согласно заданному уравнению движения X = f(t) (рис. 2.10).

При таком движении справедливо равенство а = а _ОХ = i · . На рис. 2.10 дополнительно показано ускорение а ₀–начальное ускорение точки при t₀ = 0.

 

Примечания:

1. Если проекции ускорения на координатные оси положительны ( > 0, > 0, > 0), то компоненты ускорения по координатным осям (а _ОХ, a _OY, a _OZ) направлены в те же стороны, что и единичные векторы (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.

2. Если проекции ускорения на координатные оси отрицательны ( < 0, < 0, < 0), то компоненты ускорения по координатным осям (а _ОХ, a _OY, a _OZ ) направлены в стороны, противоположные ортам (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.

 

Рассмотрим более подробно движение точки на координатной оси ОХ (рис. 2.10) по заданному уравнению движения X = f(t).

Если проекция скорости V и проекция ускорения а точки совпадают по знаку, то точка движется ускоренно. При > 0 и >0 точка движется в сторону увеличения координаты Х ускоренно. Если < 0 и < 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х ускоренно. Если > 0 и < 0, то точка движется в сторону увеличения координаты замедленно. Если < 0 и > 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х замедленно.

Если проекция ускорения на ось ОХ постоянна ( = const), то такое движение называют равнопеременным. При условии, что = const ≠ 0, уравнение равнопеременного движения точки записывают в виде

X = X₀ + ₀·t + ( ·t²)/2,

где X₀ – значение координаты точки в начальный момент времени; ₀ - проекция начальной скорости V ₀ на координатную ось ОХ в начальный момент времени.

Если = const > 0, то такое движение называют равноускоренным.

Если = const < 0, то движение точки называют равнозамедленным.

Если = 0, то такое движение называют равномерным. Уравнение равномерного движения имеет вид X = X₀ + ·t.

При условии, что = f(t) ≠ const, для получения уравнения движения выражение = f(t) необходимо дважды проинтегрировать.

Пусть, например, = 2·t. Представим это выражение в виде d /dt = 2·t. Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении d = 2·t·dt. Первый интеграл от этого выражения имеет вид = 2·(t²/2) + C₁ = t² + C₁, где С₁ – постоянная интегрирования, которую находят по начальным условиям движения. Пусть при t₀ = 0 проекция начальной скорости V ₀ на ось ОХ не равна нулю: ₀ ≠ 0. Тогда при t₀ имеем ₀ = (t₀)² + C₁. Откуда С₁ = ₀. Внося значение постоянной С₁ в выражение, полученное при первом интегрировании, имеем = t² + ₀. Так как = dX/dt, то после разделения переменных имеем следующее дифференциальное уравнение движения dX = t²·dt + ₀·dt. Интегрируя это уравнение, получим X = t³/3 + ₀·t + C₂, где С₂ – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям движения. Пусть при t₀ = 0 координата Х₀ ≠ 0. Тогда X₀ = (t₀)³/3 + ₀·t₀ + C₂ или С₂ = Х₀. Окончательно имеем уравнение прямолинейного движения

X = (t)³/3 + ₀·t + X_o.

Таким образом, если заданы уравнения движения точки в координатной форме, то можно в любой момент времени определить следующие кинематические характеристики:

1) траекторию движения;

2) положение точки на траектории движения;

3) проекции скорости на координатные оси, а, следовательно, и модуль скорости;

4) ориентацию вектора скорости в системе отсчёта по её направляющим косинусам;

5) проекции ускорения на координатные оси и модуль ускорения;

6) положение вектора ускорения в системе отсчёта по его направляющим косинусам.

⇐ Предыдущая23242526272829303132Следующая ⇒

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: