Дискретизация непрерывных сообщений

Исключительно важным положением теории связи, на котором основана вся современная радиотехника, является теорема отсчетов, или теорема Котельникова. Эта теорема позволяет установить соотношение между непрерывными сигналами – сообщениями, и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – так называемыми отсчетами.

Теорема Котельникова формулируется следующим образом:

непрерывная функция Х(t) с ограниченным спектром, то есть не имеющая в своем спектре составляющих с частотами, лежащими за пределами полосы f Î (–F_m, F_m), полностью определяется последовательностью своих отсчетов в дискретные моменты времени X(t_i), следующих с шагом Dt ≤ 1/2F_m.

Доказательство теоремы основывается на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами. А именно – если сигналы одинаковы, то и соответствующие им спектры также одинаковы, и наоборот, если спектры двух сигналов одинаковы, то и соответствующие сигналы также одинаковы.

Чтобы доказать теорему Котельникова, покажем – как спектр дискретной функции { Х(t_i) } связан со спектром непрерывной функции Х(t).

Последовательность отсчетов непрерывной функции Х(t) можно представить в виде произведения Х(t) на периодическую последовательность d -импульсов с периодом Δ t:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Импульсная переходная характеристика фильтра с АЧХ (8) имеет вид

h(t) = sinc (2pF_mt). (9)

Пропуская дискретную последовательность Х(t_i) через фильтр с импульсной характеристикой h(t), получим исходный непрерывный сигнал

(10)

Процесс дискретизации непрерывной функции X(t) и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов X(t_i) иллюстрируется рис. 1:

Рис. 1

Таким образом, по дискретной последовательности отсчетов функции Х(iDt) можно абсолютно точно восстановить исходную непрерывную функцию Х(t), если отсчеты брались с интервалом Dt £ 1/2F_m.

Это говорит о том, что не существует принципиальных различий между непрерывными и дискретными сигналами. Из любого непрерывного сигнала с ограниченным спектром можно взять его отсчеты в дискретные моменты времени, а затем по этим отсчетам абсолютно точно восстановить исходный непрерывный сигнал.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: