Вибір структури моделі та розрахунок її параметрів

Для того щоб, розрахувати систему автоматичного регулювання, перш за все, потрібно математично описати об’єкт регулювання, тобто знайти рівняння, які дозволяють розраховувати зміни регульованої величини (вихідної величини об’єкта) в часі під дією різних вхідних величин об’єкта. Такі рівняння можуть бути у вигляді перехідних функцій, диференціальних рівнянь або функцій передачі. Система таких рівнянь є математичною моделлю об’єкта регулювання. Зручність представлення математичної моделі у вигляді функцій передачі полягає в тому, що дає можливість визначити структуру об’єкта регулювання, і одночасно вказати, з яких ланок складається об’єкт регулювання і як вони між собою з’єднані.

Знаходження математичної моделі об’єкта можна здійснити аналітичним або експериментальним методами.

В аналітичних методах процеси, що відбуваються в об’єкті, аналізуються на основі законів збереження маси і енергії, а також з врахуванням конструктивних, режимних та інших особливостей об’єкта. На основі такого аналізу складають диференціальні рівняння, які зв’язують між собою елементарні прирости вхідних і вихідних величин. Загальна методика та приклади аналітичного знаходження диференціальних рівнянь і функцій передачі для різних технологічних об’єктів наводяться у спеціальній літературі [2,3,4,5,6,7,8].

В практиці проектування і налагоджування систем автоматичного регулювання переважно користуються експериментальними методами.

При експериментальних методах немає необхідності детально знати процеси, що відбуваються в середині об’єкта під дією збурень. Об’єкт регулювання при цьому розглядають як “чорну скриньку”, внутрішня будова та властивості якої по суті невідомі. Потрібну інформацію про властивості об’єкта одержують, спостерігаючи процес зміни його вихідної (регульованої) величини при відомих змінах кожної вхідної величини.

При знаходженні функції передачі об’єкта експериментальним методом важливо чітко з’ясувати, що входить в поняття “об’єкт регулювання”, тобто які фізичні величини вимірювалися в експерименті, які є вхідні і вихідні величини об’єкта. Так, наприклад, вхідною величиною об’єкта може бути витрата речовини, яка подається в об’єкт, або відбирається з нього, або ж переміщення регулюючого органу, яке спричиняє таку ж зміну витрати речовини. В останньому випадку регулюючий орган розглядається як складова об’єкта. Подібно, вихідною регульованою величиною об’єкта може бути, наприклад, температура, або ж вихідна величина первинного вимірювального перетворювача температури, наприклад, електрорушійна сила термопари. У такому випадку термопара є складовою об’єкта регулювання, що допустимо, якщо саме таку термопару передбачається застосовувати в системі регулювання.

Найчастіше зміну вхідної величини задають у вигляді однократної стрибкоподібної зміни, причому в момент збурення об’єкт повинен бути в стані рівноваги, і при цьому всі інші його вхідні величини мають залишатися сталими (метод кривої розгону). Деколи зміну вхідної величини здійснюють у вигляді короткочасного імпульсу (метод імпульсної перехідної характеристики) або ж у вигляді періодичних, по можливості синусних коливань (метод частотних характеристик). Можливе також застосування випадкових змін вхідної величини протягом деякого достатньо тривалого часу (статистичні методи). Методика проведення подібних експериментів і обробки їх результатів широко висвітлюється в літературі [9,10,11,12].

Задача знаходження функції передачі об’єкта регулювання за експериментальними перехідними функціями на практиці вирішується неоднозначно. Це значить, що деякій експериментально одержаній перехідній функції об’єкта можна підпорядкувати декілька варіантів функцій передач з різними параметрами (отже, і декілька варіантів структури об’єкта), підібраних так, що перехідні функції для всіх варіантів приблизно збігаються з експериментальною. При апроксимації експериментально отриманих перехідних функцій рекомендується задавати як апроксимуючу залежність – перехідну функцію, що відповідає обраній функції передачі лінійного об’єкта. При цьому отримують лінеаризовану модель об’єкта регулювання для досліджуваного каналу. Найкращим вважається той варіант, в якому розходження між розрахованою і експериментальною перехідними функціями будуть мінімальними.

Задача знаходження математичної моделі об’єкта за його експериментальною (згладженою) перехідною функцією, як правило, розв’язуються в три етапи:

1. Виходячи з характеру експериментальної кривої і приймаючи до уваги відомі взаємозалежності між функціями передачі і перехідними функціями вибирають передбачувану структуру моделі об’єкта і відповідну до неї функцію передачі в загальному вигляді.

2. Знаходять числові значення параметрів моделі об’єкта за обраною методикою і отримують конкретну функцію передачі моделі.

3. Знаходять розрахункові значення перехідної функції обраної моделі і перевіряють точність апроксимації, порівнюючи теоретичну криву з експериментальною.

Розглянемо деякі інженерні наближені методи побудови моделі об’єкта регулювання у вигляді функцій передачі за експериментальними перехідними та імпульсними перехідними функціями [6,11,12].

1.1.1 Інженерні методи побудови моделей за експериментальними перехідними функціями.

В інженерних методах для визначення параметрів обраної моделі застосовують переважно декілька характерних (звичайно два) значень перехідної функції. Розглянемо найбільш поширені в інженерній практиці методи знаходження параметрів деяких структур моделі.

а) знаходження моделі у вигляді послідовно з’єднаних аперіодичних ланок з однаковими сталими часу.

Оберемо для заданого об’єкта регулювання функцію передачі у вигляді

, (1)

де Т – стала часу; n – кількість аперіодичних ланок.

Теоретично перехідна функція для моделі (1) описується рівнянням

. (2)

З рівняння (2) для різних значень n і заданих значень перехідної функції можна розрахувати відношення t/T. Так, наприклад, задаючись, з рівняння (2) можна знайти відношення t₀₅/T, t₀₉/T, де t₀₅ і t₀₉ – значення часу, що відповідають значенням перехідної функції , а також розрахувати значення відношення . В таблиці 1 наведені результати таких розрахунків.

Таблиця 1.

Алгоритм знаходження параметрів математичної моделі у вигляді (1) такий:

1. Для зручності розрахунків експериментальну криву розгону об’єкта регулювання нормують діленням її значень на максимальну зміну вихідної величини (див. рис. 1)

,

де значення вихідної величини після завершення перехідного процесу; - початкове (номінальне) значення регульованої величини. Наприклад, для кривої розгону на рис. 1 , а . В результаті отримують нормовану експериментальну перехідну функцію (див. рис. 2).

2. З нормованої експериментальної перехідної функції знаходять значення часу t₀₅ i t₀₉, що відповідають значенням перехідної функції h^е(t₀₅) = 0.5 i h^е(t₀₉) = 0.9, розраховують відношення

t₀₅ /t₀₉ i перевіряють виконання умови

.

Якщо ця умова виконується, то з таблиці 1 знаходять найближче до розрахованого відношення t₀₅/t₀₉ табличне значення і відповідне йому значення n. Я кщо ж умова не виконується, то необхідно обрати інший вигляд функції передачі.

3.Для отриманого значення n з таблиці 1 визначають відношення t₀₅/Т і t₀₉ /Т, з яких знаходять сталу часу Т. Якщо розраховані значення Т не збігаються, то розраховують середнє з отриманих двох значень.

4. Для отриманих параметрів моделі (1) n i Т за рівнянням (2) знаходять розрахункові значення перехідної функції h(t) і порівнюють їх з експериментальними.

Відзначимо, що розмірний коефіцієнт передачі об’єкта регулювання з експериментальної кривої розгону визначається за формулою (див. рис.1)

,

де значення стрибкоподібної зміни вхідної величини, яка викликала зміну вихідної величини.

б) знаходження моделі у вигляді послідовно з’єднаних n аперіодичних ланок з однаковими сталими і ланки запізнення.

Виберемо функцію передачі у вигляді

, (3)

де, крім зазначених вище параметрів, τ - час запізнення.

Алгоритм знаходження параметрів математичної моделі у вигляді (3) такий:

1. Нормують експериментальну криву розгону так, як описано вище.

2. Задаються кількістю n аперіодичних ланок. З таблиці 1 визначають відповідне йому значення відношення t₀₅ / t₀₉. Наприклад для n = 3 значення t₀₅ /t₀₉ = 0.5

3. З рівняння , визначають час запізнення t. Якщо значення t вийшло від’ємним, то необхідно зменшити степінь n і повторити розрахунок.

4. Для заданого n з таблиці 1 визначають значення (t₀₅-t) /Т і (t₀₉-t) /Т, з яких знаходять Т. Якщо значення Т не збігаються, то розраховують середнє з отриманих значень.

5. Для отриманих значень n, Т і t знаходять перехідну функцію

і порівнюють її з експериментальною.

в) послідовне з’єднання аперіодичних ланок з різними сталими часу.

Оберемо функцію передачі у вигляді

,

де n – кількість аперіодичних ланок; Т_і. – сталі часу аперіодичних ланок

Припустимо, що сталі часу пов’язані між собою таким чином

, (4)

тоді функція передачі матиме вигляд

. (5)

Теоретично перехідна функція, що відповідає моделі (5), описується рівнянням

. (6)

Якщо задатись певним моментом часу t₁, то з рівняння (6) можна розрахувати значення перехідної функції в цей момент часу для різних значень n. Для моменту часу t₂=0.5t₁ значення перехідної функції, визначене з рівняння (6) матиме вигляд

. (7)

Алгоритм знаходження математичної моделі у вигляді (5).

1. З експериментальної перехідної функції знаходять значення часу t₁, що відповідає значенню перехідної функції h^е(t₁) = h₁ = 0.632h(∞). Далі визначають момент часу t₂=0.5t₁ і відповідне йому значення експериментальної перехідної функції .

2. З таблиці 2 знаходять найближче до знайденого розрахункове значення h₂ і відповідне йому значення n.

Таблиця 2.

3. Відомо, що показник інерційності моделі дорівнює сумі сталих часу. Так, для моделі (5) він визначається сумою сталих часу аперіодичних ланок

. (8)

З іншої сторони показник інерційності визначається за формулою

. (9)

В графічній інтерпретації вираз (9) являє собою площу над перехідною функцією h(t), що обмежена зліва віссю ординат, а зверху лінією h(∞)=1. Оскільки ординати функції h(t) безрозмірні, то величина S згідно формули (9) має розмірність часу. Для багатьох технологічних об’єктів наближено показник інерційності можна визначити з перехідної функції, як момент часу, при якому перехідна функція дорівнює . Тоді з пропорції з врахуванням (8) знайдемо З останнього виразу визначають сталу часу Т₁

, (10)

де - коефіцієнт, значення якого залежать від n і наведені в таблиці 2. За формулою (4) знаходять всі інші сталі часу.

3. Для отриманих значень n i Т₁ за рівнянням (6) знаходять теоретичні значення h(t) і порівнюють їх з експериментальними.

г) послідовне з’єднання аперіодичних ланок з різними сталими часу та ланки запізнення.

Алгоритм знаходження параметрів моделі у вигляді

(11)

аналогічний до попереднього. Час запізнення t визначають з експериментальної перехідної функції, як час від моменту зміни вхідної величини до моменту відхилення регульованої величини не більше, як на 3 % від усталеного значення зміни вихідної величини. Момент часу визначають як половину від (). Параметр моделі Т₁ визначають з формули (10), в якій замість t₁ підставляють (t₁ - t). Теоретична перехідна функція для моделі (11) має вигляд

(12)

д) паралельне з’єднання інтегруючої та аперіодичної ланок

Алгоритм знаходження моделі у вигляді

, (13)

де v_і - швидкість розгону інтегруючої ланки; - коефіцієнт передачі аперіодичної ланки; Т - стала часу, ілюструється рисунком 3, на якому показані експериментальна крива розгону y^e(t) побудована в розмірній формі у відхиленнях вихідної величини від заданого значення, для об’єкта регулювання без самовирівнювання, а також допоміжні криві.

Алгоритм знаходження параметрів моделі (13) такий:

1. Через точку t=0 проводять пряму y_і(t), паралельну до асимптоти експериментальної кривої розгону y^e(t) і розглядають її як криву розгону інтегруючої ланки.

2. Від ординат y_i(t) отриманої інтегруючої ланки віднімають ординати експериментальної кривої розгону y^e(t) та отримують криву , яку апроксимують кривою

розгону аперіодичної ланки першого порядку. Тоді експериментальну криву розгону об’єкта регулювання без самовирівнювання можна розглядати як різницю кривих розгону інтегруючої та аперіодичної ланок

і функцію передачі об’єкта регулювання відповідно шукати у вигляді (13).

3. З кривою розгону інтегруючої ланки знаходять швидкість розгону v_і за формулою

, (14)

де Δх – значення стрибкоподібної зміни вхідної величини, при якому одержана крива розгону; - значення, знайдене з кривої розгону інтегруючої ланки у довільний момент часу . Якщо , то відхилення вихідної величини інтегруючої лани досягає усталеного значення аперіодичної ланки і тоді швидкість розгону інтегруючої ланки можна визначити з рівняння

,

а функцію передачі (13) можна представити у вигляді

.

Параметри аперіодичної ланки і Т шукають з кривої розгону відомими методами.

4. Для отриманих значень v_і, і Т розраховують значення кривої розгону об’єкта за рівнянням

або (15)

і порівнюють їх з експериментальними.

е) паралельне з’єднання інтегруючої та аперіодичної ланок з послідовним з’єднанням ланки запізнення.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: