Эврика! Я нашел решение!

Эвристические игры рассчитаны на развитие логических связей, которые должен устанавливать ребенок в процессе своего становления. Задачи, предложенные в данном разделе, помогают ребенку не только осмысливать определенную ситуацию в целом, но и улавливать невидимые, на первый взгляд, отношения, объективно существующие между предметами, вещами и людьми. Выстраивая цепочку умозаключений, ребенок приходит к важному выводу: все в этом мире взаимосвязано, важно только правильно направить свою мысль, и тогда поразительное открытие будет непременно совершено.

Задачи, включенные в этот раздел, непременно понравятся детям по нескольким причинам: во-первых, они интересны тем, что знакомят с историческими реалиями (по обычаю, существующему в Древней Индии, люди устраивали целые интеллектуальные состязания, чтобы выявить самого умного, находчивого и последовательного в построении логических цепочек), во-вторых, условия этих задач представляют собой легенды, предания, а также любопытные фрагменты из книги любимого детьми писателя Джонотана Свифта («Жесткая постель», «Паек и обед Гулливера», «300 портных»), в-третьих, детям очень интересно собираться вместе и пробовать свои силы.

В Древней Индии был распространен своеобразный вид спорта – публичные соревнования в решении головоломных задач. Составлялись даже учебники-руководства для таких состязаний. Процитируем один из них: «По изложенным здесь правилам мудрый может придумать тысячи других задач. Как солнце блеском своим затмевает звезды, так и ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

«Пчелиный рой»

Предназначена игра для детей старшего возраста и подростков. Количество игроков не ограничивается, но желательно около 5 человек. На решение эвристической задачи отводится один час. Выигравшим считается тот, кто первым найдет правильный ответ.

Пчелы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя 8/9 роя. И только одна из пчелок того же роя кружится возле лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение.

Обозначим искомую численность роя через x, тогда уравнение будет иметь вид:

квадратный корень из дроби x/2+8/9+2=x.

Приводим это уравнение в более простую форму, вводя вспомогательное неизвестное:

y = квадратный корень из дроби x/2.

Тогда x=2х(y в квадрате), а уравнение будет иметь такой вид:

y+16хy (в квадрате) /9+2=2хy (в квадрате), или 2хy (в квадрате) – 9хy – 18=0

Решив это уравнение, получаем два значения для y:

y(первый) = 6, y(второй) = —3/2.

Соответствующие значения для x:

x(первый) = 72, x(второй) = 4,5.

Так как число пчел должно быть целое и положительное, то удовлетворяет задаче только первый корень: рой состоял из 72 пчел. Проверим:

квадратный корень из дроби 72/2+8/9х72+2=6+64+2=72.

«День рождения»

Игра предназначена для детей старшего возраста и подростков. Количество игроков не ограничивается, но желательно около 5 человек. На решение эвристической задачи отводится 15 минут. Выигравшим считается тот, кто первым найдет правильный ответ, после объявления которого участники игры рассказывают о способах решения.

У Маши и ее отца сегодня день рождения. Отец старше дочери ровно в 11 раз. Через 6 лет он будет старше ее только в 5 раз, через 16 лет – в 3 раза, через 36 лет – всего в 2 раза. Сколько лет Маше?

Способ решения.

Пусть Маше будет x лет, а отцу – y. По условию Маша сейчас моложе отца в одиннадцать раз, то есть 11хx=y.

Через 6 лет: (x+16)х5=y+6.

Через 16 лет: (x+16)х3=y+16.

Через 36 лет: (x+36)х2=y+36.

Решая любую пару уравнений, получим x=4. То есть Маше 4 года. Отцу, соответственно, исполнилось 44 года.

Задачу можно решить, и не прибегая к составлению уравнений. Для этого необходимо написать два ряда чисел:

1 2 3 4 5

11 22 33 44 55

В первом ряду – сколько лет могло исполниться Маше, во втором – отцу. 1 и 11 отпадает по логике вещей.

Теперь проверим следующую пару: 2 и 22. Если Маше сейчас 2 года, а отцу 22 года, то через 6 лет Маше будет 8, а отцу 28, 8 х 5 не равно 28, то есть условие задачи не соблюдается.

Третья пара чисел тоже отпадает, так как 3+6=9,

33+6=39, 9х5 не равно 39.

Проверяя пару 4 и 44, получаем: 4+6=10, 44+6=50. Первое условие соблюдается. Проверяем дальше.

4+16=20, 44+16=60, 20х3=60. Второе условие тоже соблюдено.

Проверим третье условие.

4+36=40, 44+36=80, 40х2=80. Таким образом, мы можем сказать, что Маше исполнилось 4 года, а отцу – 44 года.

«Задача Ньютона»

Игра для подростков. Дети садятся в круг (каждый за своим столом). У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. Оговорив условия задачи, участники засекают время на ее решение – 1 час, по истечении которого забираются

листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Выигравшим считается игрок, быстрее других нашедший правильный ответ.

Условие задачи:

«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 1/3 гектара, 10 гектаров и 24 гектара. Первый луг прокормил 12 быков в продолжение 4 недель, второй – 21 быка в течение 9 недель».

Вопрос: «Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?»

Решение.

Введем вспомогательное неизвестное у, которое будет означать, какая доля первоначального запаса травы прирастет на один гектар в течение недели, то есть величина у – это коэффициент прироста травы.

На первом лугу в течение недели нарастет травы 3 1/3ху, а в течение 4 недель, соответственно, прирастает 3 1/3хух4=40/3 того запаса, который первоначально имелся на 1 гектаре. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась бы и сделалась равной 3 1/3+40/3ху гектаров. То есть, быки съели бы травы столько, сколько занимает луг площадью в 3 1/3+40/3ху гектаров.

В течение одной недели быки съели четвертую часть этого количества, а один бык – 1/48 часть, то есть запас травы, имеющийся на площади 3 1/3+40у/48=(10+40ху)/144 гектаров.

Подобным образом можно вычислить площадь луга, на котором может кормиться один бык в течение одной недели.

Недельный прирост на 1 гектар = у,

девятинедельный прирост на 1 гектар = 9ху,

девятинедельный прирост на 10 гектаров = 90ху

Площадь, которой будет достаточно для прокорма 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90ху

Площадь участка, содержащая запас травы для кормления 1 быка в течение недели, высчитывается следующим образом:

(10+90ху)/9х21=(10+90ху)/189 гектаров.

Так как обе нормы потребления травы должны быть одинаковыми, то получаем уравнение: (10+40ху)/144=(10+90ху)/189.

Когда решим это уравнение, получим значение у: у=1/12.

Теперь нужно определить площадь луга, запас травы которого достаточен для прокорма одного быка в течение недели:

(10+40ху)/144=(10+40х1/12)/144=5/54 гектара.

Только проделав эти дополнительные вычисления, можно приступить к решению задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем:

(24+24х18х1/12)/18хх=5/54, из этого уравнения находим Х: Х=36. Значит, третий луг может прокормить за 18 недель 36 быков.

Игры-задачи из книги Джонатана Свифта «Путешествие Гулливера»

Игра представляет интерес для подростков, уже прочитавших это произведение английского прозаика. Лучше поиграть сразу после прочтения книги, когда еще живы впечатления и ребят интересует поиск разгадок волшебных обстоятельств, которым подвергся во время своих злоключений Гулливер.

«Жесткая постель»

Дети садятся в круг (каждый за своим столом). Выбирается ведущий. У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. После прочтения условий задачи ведущий засекает время на ее решение – 30 минут, по истечении которого забираются листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Выигравшим считается игрок, который быстрее нашел правильный ответ.

Условие задачи. «Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из 150 тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, но даже и на этой постели мне было так жестко спать, как на каменном полу».

Вопрос:

– Почему Гулливеру было жестко на этой постели?

Решение.

Расчет, сделанный лилипутами (Свифтом), правильный. Если тюфяк лилипутов в 12 раз короче и, конечно, в 12 раз уже тюфяка обычных размеров, то поверхность его была в 12х12 раз меньше поверхности нашего (человеческого) тюфяка. Чтобы Гулливеру лечь, ему нужно было, следовательно, 144 (круглым счетом 150) лилипутских тюфяка. Но лилипутский тюфяк очень тонкий (в 12 раз тоньше человеческого) – ясно, почему, даже положив четыре слоя таких тюфяков, Гулливеру было жестко: получился тюфяк втрое тоньше человеческого.

«Паек и обед Гулливера»

Дети садятся в круг (каждый за своим столом). Выбирается ведущий. У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. После того как ведущий прочитает условие задачи, засекается время на ее решение – 30 минут, по истечении которого забираются листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Выигравшим считается игрок, быстрее нашедший правильный ответ.

Условие задачи. Готовя обед для Гулливера, лилипуты взяли следующий объем продуктов, чтобы накормить «великана»: «Ему будет ежедневно выдаваться паек съестных припасов и напитков, достаточный для прокормления 1728 подданнных страны лилипутов». В другом месте Гулливер скажет: «Триста поваров готовили для меня кушанья. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживали с пола: они подавали кушанья, остальные приносили бочонки с вином и другие напитки на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревки и бокалов».

Вопросы:

– Из какого расчета назначали лилипуты такой большой паек?

– Зачем понадобился такой огромный штат прислуги для прокормления одного человека?

– Соразмерны ли подобный паек и аппетит с относительной величиной Гулливера (Гулливер в дюжину раз выше лилипута) и лилипутов?

Решение.

Нужно помнить о том, что лилипуты были в 12 раз меньше Гулливера, и у них, как и у него, были нормальные пропорции частей тела. Следовательно, они были не только в 12 раз ниже ростом, но и в 12 раз уже и в 12 раз тоньше Гулливера. Объем их тела был поэтому меньше объема тела Гулливера не в 12 раз, а в 12*12*12, то есть в 1728 раз. Для поддержания жизни такого человека нужно, соответственно, больше пищи в 1728 раз. Значит, расчет, сделанный лилипутами, был верен.

Чтобы приготовить 1728 обедов, нужно не менее 300 поваров, если считать, что один повар может сварить полдюжины лилипутских обедов. Соответственно, больше людей нужно было и для того, чтобы поднять такой груз на высоту стола Гулливера, который был, как легко подсчитать, высотой с трехэтажный дом лилипута.

«Книги великанов»

Дети садятся в круг (каждый за своим столом). Выбирается ведущий. У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. Когда ведущий прочитает условие задачи, засекается время на ее решение – 30 минут, по истечении которого забираются листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Выигравшим считается тот, кто быстрее нашел правильный ответ.

Условия задачи. В стране великанов Гулливер увидел книги, о которых он так рассказал: «Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, но для того чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50 футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали в 10 футах от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строки, переходя слева направо и обратно шагов на 8 или 10, смотря по длине строк.

По мере того как чтение подвигалось вперед и строки приходились все ниже и ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на третью и т. д. Дочитав до конца страницы, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листья переворачивал обеими руками, что было нетрудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты имеют не более 18—20 футов в длину».

Вопрос:

– Соразмерно ли сооружение Гулливеру?

Решение.

Современная книга обычного формата имеет 25 см в длину и 12 – в ширину. Исходя из этого размера, можно сказать, что книга в «Стране великанов» была немного преувеличенной. Чтобы читать книгу менее 3 м ширины, можно обойтись без лестницы, нет необходимости ходить вправо и влево на 8—10 шагов. Но во времена Свифта, то есть в начале XIX века, обычным считался другой формат книги: около 30 см в высоту и 20 см в ширину. Если увеличить эти цифры в 12 раз, то получим следующие размеры книг-великанов: 360 см (почти 4 м) в высоту и 249 см (2,4 м) в ширину. Читать четырехметровую книгу без лестницы нельзя.

Однако подобный фолиант должен весить в 1728 раз больше нашего, а именно – около 3 тонн. Считая, что в нем 500 листов, получим для каждого листа книги великанов вес около 6 кг – несколько тяжеловатый груз для пальцев руки.

«Триста портных»

Дети садятся в круг (каждый за своим столом). Выбирается ведущий. У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. Когда ведущий прочитает условие задачи, засекается время на ее решение – 30 минут, по истечении которых забираются листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Каждый участник игры подробно рассказывает о пути к ответу. Выигравшим считается тот, который быстрее нашел правильный ответ.

Условие задачи. «Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам».

Вопрос:

– Как вы считаете, нужно ли столько портных-лилипутов, чтобы сшить один костюм для обыкновенного человека, который больше лилипута всего в 12 раз?

Решение.

Чтобы правильно решить эту задачу, нужно определить «размер» поверхности тела Гулливера: каждому квадратному дюйму тела Гулливера соответствует квадратный дюйм тела лилипута. Приняв такое условие, мы считаем: 12*12=144. Значит, поверхность тела Гулливера больше поверхности тела лилипута в 144 раза. Поэтому на костюм Гулливера должно было уйти в 144 раза больше ткани, чем на костюм лилипута. Соответственно, и больше портных, и больше рабочего времени.

Если учесть, что один портной может сшить половину костюма за один день, значит, чтобы сшить один костюм Гулливера, то есть 144 лилипутских костюма, нужно 288 портных (около 300).

«Артель косцов»

Игра предназначена для подростков и детей старшего возраста. В нее можно играть целой группой, компанией.

Все участники игры садятся в круг за стол, выбирается ведущий. Им может быть самый старший из ребят или тот, кто знает ответ и способ решения задачи.

У каждого участника игры должны быть листочки и ручки. Сначала читается условие задачи, причем сообщается, что эту задачу очень любил Л. Н. Толстой, а текст ее взят из воспоминаний А. В. Цингера о великом писателе. Далее засекается время на ее решение – около 20 минут. После этого проверяются решения и ответы. Выигравшим считается тот, кто быстрее решит задачу.

Условие задачи. Артели косцов надо было скосить два луга, один больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого она разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы.

Вопрос:

– Сколько косцов было в артели?

Решение.

Имеются два неизвестных: число косцов и размер участка, скашиваемого косцом в один день. Поэтому необходимо ввести две переменные: x (число косцов) и y (размер участка, который скашивает один косец за один день). Теперь выразим через x и y площадь большого луга. Этот луг косили полдня x косцов, и они скосили: xх1/2хy=(xхy)/2.

Вторую половину дня его косила только половина артели, то есть x/2 косцов, и они скосили:

x/2х1/2хy = (xхy)/4.

Так как к вечеру был скошен весь луг, значит, площадь его равна:

(xхy)/2+(xхy)/4=(3хxхy)/4.

Теперь выразим через x и y площадь меньшего круга. Его полдня косили x/2 косцов и скосили площадь:

x/2х1/2хy=(xхy)/4.

Прибавив недокошеный участок, равный y (площади луга, скашиваемой одним косцом за один день), получим площадь меньшего луга:

(xхy)/4+y=(xхy+4хy)/4.

Переводим на язык математики выражение «первый луг вдвое больше второго» и составляем уравнение

((3хxхy)/4)/(xхy+4хy)/4=2,

или

3хxхy/xхy+4*y=2.

Теперь сократим дробь в левой части уравнения на y – вспомогательное неизвестное благодаря этому вычислению убирается, а уравнение приобретает такой вид:

3*x/x+4=2,

3хx=2хx+8,

x=8.

Следовательно, в артели было 8 косцов.

Задачу можно решить и более простым способом. Рассуждения должны быть следующими. Если полдня большой луг косила целая артель и полдня – пол-артели, становится понятно, что за полдня пол-артели скашивают 1/3 луга. Следовательно, на малом лугу остается нескошенным участок в 1/2—1/3=1/6.Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было 6/6+2/6=8/6, то косцов было 8.

«Жизнь Диофанта»

Игра предназначена для подростков и детей старшего возраста. Ею можно заняться целой группой, компанией.

Все участники садятся в круг за стол, выбирается ведущий. Им может быть самый старший из ребят или тот, кто знает ответ и способ решения задачи. Ведущий раздает всем участникам игры листочки с таблицами и ручки.

Сначала ведущий рассказывает о том, что не сохранились точные биографические сведения из жизни известного древнего математика Диофанта, а все, что известно о нем, историки почерпнули из надписей, представляющих собой математические выражения на его гробнице.

Ведущим дается задание: заполнить последнюю графу таблицы. Дается время – около 15 минут. Выигравшим считается тот участник, который быстрее правильно заполнит последнюю графу.

На родном языке: На языке алгебры:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта. – x

И числа поведать могут, о чудо, сколь Часть шестую его представляло прекрасное детство. – x/6

Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. – x/12

Седьмую в бездетном браке провел Диофант. – x/7

Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца, сына, – 5

Кому рок половину лишь жизни прекрасной, светлой дал на земле по сравненью с отцом. – x/2

И в печали глубокой старец земного – x=x/6+x/12

удела конец воспринял, переживши – +x/7+5+x/2

года четыре с тех пор, как сына лишился. – +4

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение.

Решаем уравнение x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4 и получаем значение x=84. Теперь можно указать точные биографические данные:

– он женился в 21 год,

– стал отцом в 38 лет,

– потерял сына в 80 лет,

– умер в 84 года.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: