ТОР 5 статей:
Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия
Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века
Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка
Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы
КАТЕГОРИИ:
- Археология
- Архитектура
- Астрономия
- Аудит
- Биология
- Ботаника
- Бухгалтерский учёт
- Войное дело
- Генетика
- География
- Геология
- Дизайн
- Искусство
- История
- Кино
- Кулинария
- Культура
- Литература
- Математика
- Медицина
- Металлургия
- Мифология
- Музыка
- Психология
- Религия
- Спорт
- Строительство
- Техника
- Транспорт
- Туризм
- Усадьба
- Физика
- Фотография
- Химия
- Экология
- Электричество
- Электроника
- Энергетика
Линейные операции над векторами. Векторы. Линейные операции над векторами
Лекция 5.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.
Определение 5.1. Вектором называется направленный отрезок.
Обозначения: a, 
, 
.
Определение 5.2. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Определение 5.3. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.
Замечание. Таким образом, мы изучаем так называемые свободные векторы, начальная точка которых может быть выбрана произвольно. Векторы, для которых важна точка приложения, называются присоединенными (связанными) и используются в некоторых разделах физики.
Линейные операции над векторами.
Определение 5.4. Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.
b
a+b
a
Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Свойства сложения:
Свойство 1. a + b = b + a.
Доказательство. Приложим векторы а и b к общему началу и рассмотрим параллелограмм
AOBC. Из определения 5.4 и треугольника ОВС следует, что ОС= b+a, а из треугольника
ОАС – ОС= а+b. Свойство 1 доказано.
В а С Замечание. При этом сформулировано еще одно правило
b b сложения векторов – правило параллелограмма: сумма
a+b= векторов a и b есть диагональ параллелограмма, построенно-
=b+a го на них как на сторонах, выходящая из их общего начала.
О А
А
Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c).
b Доказательство. Из рисунка видно, что
A a + b B (a+b)+c =(OA+AB)+BC=OB+BC=OC,
a a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC.
Свойство 2 доказано.
b+с
O c С
Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a +О=а.
Доказательство этого свойства следует из определения 5.4.
Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a / такой, что а+а /=О.
Доказательство. Достаточно определить a / как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.
Определение 5.5. Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.
a a-b
B
Определение 5.6. Произведением k a вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный | k || a |, и направление, совпадающее с направлением а при k >0 и противоположное а при k<0.
Свойства умножения вектора на число:
Свойство 1. k( a + b ) = k a + k b.
Свойство 2. (k + m) a = k a + m a.
Свойство 3. k(m a ) = (km) a.
Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = k a.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: