ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Скалярное произведение векторов.
Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: ab = | a || b | cosφ. (5.4) Обозначения скалярного произведения: ab, ( ab ), a·b.
Свойства скалярного произведения: 1. ab = | a | пра b.
Доказательство. По свойству проекции пра b = | b | cos φ, следовательно, ab = | a | пра b.
2. ab = 0 a b. 3. ab = ba. 4. (k a) b = k(ab). 5. (a + b ) c = ac + bc. 6. a 2 = aa = | a |2, где а 2 называется скалярным квадратом вектора а. 7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, (5.5) то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. (5.6) Доказательство. Используя формулу (5.3), получим: ab = (X1 i + Y1 j + Z1 k )(X2 i + Y2 j + Z2 k ). Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства: ab = X1X2 ii +Y1Y2 jj + Z1Z2 kk + X1Y2 ij +X1Z2 ik + Y1X2 ji + Y1Z2 jk + Z1X2 ki + Z1Y2 kj. Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.
8. cosφ = . (5.6) Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.
Пример. a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b: ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|