Число степеней свободы системы

Числом степеней свободы механической сис­темы называется число независимых координат (линейных и угловых), определяющих положение всех масс системы в пространст­ве в любой момент времени ее движения. Любая реальная конст­рукция имеет распределенные по объемам ее элементов массы, и поэтому представляет собой систему с бесконечным числом элементарных масс. Поскольку, как было сказано выше, для всего этого бесконечно большого числа масс должно быть определено их положение при движении, постольку о ре­альных конструкциях следует говорить, как о системах с бес­конечно большим числом степе­ней свободы (рис. 1.1, а и г).

Рис. 1.1. Системы с различным числом степеней свободы:

а — с бесконечным; б — с конечным; в — с од­ной степенью свободы при горизонтальных ко­лебаниях; г—е — то же, при вертикальных ко­лебаниях; /—схема конструкции; //—дина­мическая модель системы

Во многих случаях технических расчетов, допуская некоторую погрешность, можно заменить систему с бесконечно большим числом степеней сво­боды системой с конечным числом масс, сосредоточенных в некоторых характерных точках (рис. 1.1, б, д, е). Остальные же участки системы, оставшиеся без масс, рассматриваются как безынерционный скелет системы, сохранивший, однако, деформационные свойства рассчитываемой конструкции. Такие упрощенные системы являются системами с конечным числом степеней свободы. Места сосредоточения масс обычно выбираются таким образом, чтобы совместить их положение с местами расположения наибольших вертикальных нагрузок. Так, например, при составлении приближенной схемы (расчетной модели) для определения горизонтальных колебаний здания массы его предполагают сосредоточенными на уровне перекрытий. При отсутствии таких нагрузок сосредоточенные массы располагаются равномерно вдоль или по высоте элементов системы, а при наличии в ней таких характерных узлов, как, например, в рамных конструкциях, положения сосредоточенных масс совмещают с положением этих узлов.

В динамике сооружений используются также методы дискретизации масс, основанные на сравнении кинетических энергий действительной системы и ее расчетной модели. Полученные таким образом массы называются приведенными.

Простейшей системой с конечным числом степеней свободы является система с одной степенью свободы. По такой схеме (рис. 1 1, е, в) могут быть рассмотрены, например, горизонтальные колебания в одном из направлений одноэтажной рамы, несущей тяжелое покрытие. Основная часть масс конструкции здесь расположена на уровне покрытия, поэтому рассмотрение ее как системы с одной степенью свободы не вызывает ощутимых погрешностей. Од­нако представление по такой же схеме горизонтальных колебаний дымовой трубы, масса которой равномерно распределена по высоте, внесло бы заметные погрешности в результаты расчета. Подобную конструкцию нужно рассматривать как систему с бесконечным или приближенно с конечным, но достаточно большим числом степеней свободы. Увеличение числа степеней свободы приближает результат к точному, но резко возрастает объем вычислительных операций. Таким образом, одним из важных вопросов, возникаю­щих при решении задач, связанных с колебаниями системы, является ограничение расчетных схем таким минимальным числом' степеней свободы, при котором погрешности в результатах были бы небольшими.

Виды колебаний

Если внешним воздействием нарушить состояние устойчивого равновесия механической системы, а затем устранить это внешнее воздействие, то система начнет совершать колебания относительно своего первоначального положения равновесия. Колебания системы, которые происходят в ней после устранения внешнего воздействия, называются свободными. Свободные колебания зависят от характеристик системы и от тех начальных условий (смещений, скоростей, ускорений), которые соответствовали моменту снятия с системы внешнего воздействия. Поскольку начальные условия могут быть различными, то и свободные колебания одной и той же системы могут быть разными с изменяющейся во времени (у систем с числом степеней свободы больше одной) конфигурацией эпюры динамических прогибов.

Если надлежащим образом задаться начальными условиями колебаний, то можно получить свободные колебания системы с неизменяющейся во времени формой, определяемой соотношениями ее динамических прогибов в разных точках. Такие колебания системы называются собственными (или главными). Название «собственные» связано с тем, что формы этих колебаний и соответствующие им частоты (см. далее) определяются только собственными харак­теристиками механической системы (величиной и распределением масс, жесткостей, видом опор). Каждая система с п степенями свободы имеет п собственных частот и соответствующих им форм колебаний. В реальных условиях свободные колебания системы более или менее быстро затухают, что связано с затратами энергии на преодоление различных внешних (трения в опорах и т. д.) и внутренних сопротивлений.

Для каждой из собственных форм колебаний характерна своя скорость затухания. По этой причине к концу процесса свободных колебаний сложные движения, состоящие из нескольких собственных форм, постепенно вырождаются в одну форму, отличающуюся наименьшей скоростью затухания. Свободные колебания системы с одной степенью свободы происходят с одной, присущей такой системе собственной частотой. Если колеблющаяся система находится под действием возмущающих сил (или кинематических воздействий), например, если стойка поддерживает механизм с вращающейся неуравновешенной массой, то такие колебания системы (в нашем примере стойки) называются вынужденными. Вынужденные колебания зависят как от параметров колеблющейся системы, так и от характеристик вынуждающего (возмущающего) воздействия.

Рис. 1.2. Графики колебаний

а_гармоническое; б—затухающее; в—возрастающее: г— периодическое с несимметрич­ным циклом: д — суммирование затухающих и незатухающих колебаний с разными перио­дами; е —биение. На рис. 1.2, а Уц-Уч

а_гармоническое; б—затухающее; в—возрастающее: г— периодическое с несимметрич­ным циклом: д — суммирование затухающих и незатухающих колебаний с разными перио­дами; е —биение. На рис. 1.2, а Уц-Уч

Как будет показано далее, при решении некоторых важных задач можно приближенно отказаться от учета затухания колебаний, т. е. рассматривать такие идеализированные системы, у которых запас механической энергии при колебаниях не изменяется. Такие системы называются консервативными, в отличие от реальных диссипативных систем, обладающих свойством рассеивать энергию. На рис. 1.2, а иг показаны графики периодических колебаний, описываемых функцией у(t) времени t, которая удовлетворяет условию

y(t-kT)=y(t)0, (1-0)

где T—постоянная, называемая периодом колебаний; k— целое число.

Из приведенного условия следует определение периода, как ин­тервала времени, за который система совершает один цикл колеба­ний, заканчивающийся возвращением ее в исходное состояние. Об­ратная периоду величина, т. е количество циклов колебаний за еди­ницу времени п=1/Т, называется частотой колебаний. За единицу частоты колебаний принят герц (Гц), равный одному циклу коле-йяний в 1 с Периодические колебания, которые совершаются по закону

у(t)=Аsin(jt+n), (1-1)

называются гармоническими. Величину (р называют угловой часто­той гармонического колебания, она связана с периодом Т и частотой п соотношением (1.2)

j=2p/T=2np (1-2)

Как следует из (1.2),. j показывает количество циклов за 2p= 6,283 с.

Из выражения (1.1) следует, что максимальная у(t)_max и минимальная у(t)_min величины отклонения колеблющейся точки от положения равновесия равны соответственно +А и -А. Величина А называется амплитудой колебаний, а удвоенная величина 2A — размахом. Вначальный момент времени величина перемещения можетбыть найдена из (1.1), если положить t=0:

у_н=y (0)= А Sin n (1.3)

Величина (р<+у называется фазой, а у—начальной фазой колебаний.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: