ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Погрешность результатов вычисления арифметических операцийОценим погрешность результата сложения двух чисел, заданных с ошибкой: . Аналогично определяется погрешность результата вычитания: . Для определения абсолютных погрешностей операций умножения и деления двух чисел проведем соответствующие выкладки: . Оценим относительные погрешности результатов умножения и деления: , . В последних выражениях учитывается, что величины . Таким образом, при выполнении арифметических операций сложения и вычитания складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении - относительные погрешности.
Метод Гаусса Рассмотрим процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса на следующем примере: Главный определитель такой системы , что гарантирует единственность решения. 1 шаг. Первая строка системы уравнений делится на первый коэффициент: 2 шаг. Первая строка вычитается из второго уравнения: 3 шаг. Из третьего уравнения вычитается первая строка, умноженная на 2: 4 шаг. Второе уравнение делится на 2: 5 шаг. Из третьего уравнения вычитается второе уравнение, умноженное на 2: 6 шаг. Определяются искомые величины:
Таким образом, получено решение исходной системы уравнений. Теперь рассмотрим процедуру получения решения методом Гаусса в более общем случае. Пусть . Тогда первое уравнение системы (2.2) можно поделить на этот коэффициент: . С помощью этого уравнения можно преобразовать систему уравнений (2.2) к виду Здесь обозначено . В полученной системе можно выделить подсистему (m-1) линейных уравнений с (m-1) неизвестными величинами: Пусть теперь . Поделим второе уравнение системы на этот коэффициент: . С помощью этого соотношения уравнения системы преобразуются к виду Здесь обозначено . В результате преобразований получена подсистема (m-2) уравнений с (m-2) неизвестными: В предположении, что , делим третье уравнение системы на этот коэффициент: . Снова выполняется следующий шаг по понижению порядка системы алгебраических уравнений, и так далее, до тех пор, пока вся система уравнений не будет преобразована к виду В результате всех произведенных выкладок матрица коэффициентов А системы алгебраических уравнений приведена к виду - “верхняя” треугольная матрица, у которой равны нулю все элементы, расположенные под главной диагональю. Процедура получения такой матрицы носит название “прямого хода” метода Гаусса. Очевидным условием для успешного выполнения “прямого хода” является . “Обратный ход” метода позволяет определить искомые величины: Таким образом, “прямой ход” метода Гаусса можно трактовать как преобразование системы уравнений вида Ax = f в эквивалентную систему Ux = y, причем . Последнюю систему соотношений с учетом вышеприведенных выкладок можно представить в иной форме и записать в виде Ly = f, где L - нижняя треугольная матрица с отличными от нуля коэффициентами на главной диагонали. Все вышесказанное позволяет трактовать метод Гаусса как последовательное решение двух систем уравнений: Ly = f и Ux = y. Объединяя эти соотношения, получаем LUx = f. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|