Восьмеричная система счисления

Основание этой системы счисления (p) равно восьми. Восьмеричную систему счисления можно рассматривать как более короткий вариант записи двоичных чисел, так как число восемь является степенью числа два. В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр. Чтобы не вводить новых символов для обозначения цифр, в восьмеричной системе счисления используются символы десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Для того чтобы не спутать систему счисления, в записи восьмеричного числа используется индекс 8. Если же кроме восьмеричной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс обычно опускается.

Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, восьмёрок, шестьдесят четвёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в восемь раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как восьмые, шестьдесят четвёртые (и так далее) доли единицы.

Рассмотрим пример записи восьмеричного числа:

= = 85,59375₁₀

Во второй строке приведённого примера фактически осуществлён перевод числа, записанного в восьмеричной форме в десятичное представление того же самого числа. На приведенных примерах мы фактически рассмотрели один из способов преобразования чисел из одной формы представления в другую.

Так как в формуле используются простые дроби, то возможен вариант, что точный перевод из одной формы представления в другую становится невозможным. В этом случае ограничиваются заданным количеством дробных разрядов.

Приведём таблицы операций сложения и умножения в восьмеричной системе счисления:

Таблица 5.1 – Таблица сложения восьмеричных чисел

Таблица 5.2 – Таблица умножения восьмеричных чисел

А теперь для иллюстрации действий в восьмеричной системе счисления выполним несколько операций. В качестве примера возьмём те же самые числа, что и в предыдущем случае – 5₁₀ и 3,5₁₀. Сначала преобразуем их в восьмеричную форму:

A = 5₁₀ = 5₈.

B = 3,5₁₀ = 3,4₈ = 3*8⁰ + 4*8^-1 = 3₁₀ +

Затем выполним суммирование этих чисел в восьмеричной системе счисления. В результате суммирования ожидаем получить число 8,5₁₀. Суммирование будем выполнять в столбик». Так будет легче понять арифметические действия:

При суммировании единичных разрядов возникает перенос в разряд восьмёрок. Для проверки переведём получившийся результат в десятичную форму:

10,4₈ = 1*8¹ + 0*8⁰ + 4*8^-1 = 8₁₀ + 0,5₁₀ = 8,5₁₀

Как видно из полученного десятичного числа результат совпадает. То есть при выполнении суммирования в восьмеричной системе счисления ошибки не произошло.

Теперь выполним операцию восьмеричного вычитания. Вычтем из числа 5₁₀ число 3,5₁₀. В результате выполнения этой операции мы ожидаем получить десятичное число 1,5:

При вычитании разряда восьмых частей сразу же возникает необходимость "заёма" из старшего разряда. Если из единицы вычесть число 0,4₈, то в качестве результата получим тоже число 0,4₈. Записываем на место восьмых частей четвёрку. В разряде единиц из оставшейся после "заёма" цифры 4 вычтем цифру 3.

Ну а теперь проверим, что же мы получили. Для этого преобразуем число из восьмеричной формы в десятичную:

1,4₈ = 1*8⁰ + 4*8^-1 = 1₁₀ + 0,5₁₀ = 1,5₁₀

Выполним операцию восьмеричного умножения. Умножать будем те же самые числа (5₁₀ и 3,5₁₀). В результате операции умножения мы ожидаем получить число 17,5₁₀. Умножение произведём в "столбик". Умножение в столбик в восьмеричной системе счисления выполняются точно так же как и в десятичной системе:

Первое частичное произведение образуется при умножении младшего разряда множителя на множимое. При умножении цифры 4 на цифру 0 получаем 0. Записываем младший разряд частичного произведения. Результат умножения цифры 4 на цифру 5 определяем по таблице 7.

Точно так же получаем и второе частичное произведение. Его мы сдвигаем на один восьмеричный разряд (как в десятичной системе счисления) и точно так же как и в десятичной системе счисления в конце операции умножения мы суммируем все частичные произведения.

Снова проверяем, что же мы получили. Для этого преобразуем число из восьмеричной формы в десятичную:

21,4₈ = 2*8¹ + 1*8⁰ + 4*8^-1 = 16₁₀ + 1₁₀ + 0,5₁₀ = 17,5₁₀

Все в порядке, результаты вычислений в различных системах счисления совпадают.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: