ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Однородные уравнения. Однородные ДУ 1-го порядка имеют вид:Однородные ДУ 1-го порядка имеют вид: (4) Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены где Действительно, подставляя в уравнение (4) получаем: — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим
После вычисления интеграла вместо z нужно подставить и, если можно, упростить полученное выражение. Пример Найти общее решение ДУ Решение. Разделим уравнение на (х = 0 не принадлежит ООУ) и получим: — однородное уравнение вида (4) в котором Делаем замену Тогда исходное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными: Найдем интегралы в левой и правой частях полученного равенства: Итак, получим: — общий интеграл исходного ДУ. Линейные уравнения Линейные ДУ 1-го порядка имеют вид: (5) где p (x) и q (x) — известные функции, непрерывные на некотором интервале. Такие уравнения обычно решают методом Бернулли, который состоит в следующем. Решение ищется в виде произведения двух функций Тогда Подставляя y и в (5), получим: Объединим второе и третье слагаемые в левой части последнего уравнения, вынося U за скобки, и получим: (6) Поскольку одну неизвестную функцию у заменили двумя функциями U и V, то одну из этих функций можем взять произвольно. Выберем функцию V (x) так, чтобы она была решением уравнения (7) тогда вторая функция U (x) должна удовлетворять уравнению (8) Решив уравнение с разделяющимися переменными (7), найдем V и подставим его в (8), откуда найдем U. Общее решение получим как произведение найденных функций U и V: Пример. Найти общее решение ДУ: Решение. Уравнение имеет вид (5), поэтому является линейным. Решим его методом Бернулли. Сделаем замену Приравняем коэффициент при U к нулю и получим: Решим первое из полученных уравнений: (при интегрировании использовали формулы 4 и 2 таблицы интегралов). При нахождении V постоянную С полагаем равной нулю, так как в данном случае достаточно найти некоторое решение. Полученную функцию подставим во второе уравнение: (использовали формулы 2 и 7 таблицы интегралов). Таким образом, или — общее решение исходного ДУ. Уравнения Бернулли Уравнения Бернулли имеют вид: (9) где Метод решения таких уравнений тот же, что и для линейных уравнений. Пример. Найти общее решение ДУ: Решение. Разделим уравнение на (х = 0 не является решением данного ДУ): Полученное уравнение имеет вид (9), следовательно, это уравнение Бернулли. Сделаем замену Получим: Приравняем коэффициент при U нулю и получим:
Решим первое уравнение: (использовали формулу 4 таблицы интегралов). Подставим полученную функцию V во второе уравнение: (использовали формулы 3 а и 9 таблицы интегралов). Таким образом, общее решение ДУ: Случай V = 0 и y = 0 является решением ДУ, и так как оно не может быть получено из общего решения, то является особым решением. Все рассмотренные типы ДУ 1-го порядка и методы их решения включены в таблицу ДУ 1-го порядка (см. прил. 2).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|