Правило интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо разделить числитель на знаменатель и представить ее в виде суммы целого многочлена и правильной дроби.

2. Разложить знаменатель правильной дроби на множители.

3. Разложить правильную дробь на сумму простейших дробей, и тем самым свести интегрирование рациональной дроби к интегрированию простейших дробей.

4. Коэффициенты разложения находятся следующим образом:

- методом частных решений, который использует корни знаменателя;

- метод неопределенных коэффициентов, когда приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях ;

- комбинированным методом, включающий в себя первые два.

Пример 4. Найти интеграл .

Так дроби неправильная, то сначала выделим целую часть, а затем разложим правильную дробь на сумму простейших дробей.

;

Так как дроби равны, равны знаменатели, то равны и числители дробей

.

Найдем коэффициенты разложения комбинированным методом.

1) Метод частных решений. Подставим, действительный корень знаменателя в обе части равенства:

.

2) Метод неопределенных коэффициентов. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений

;

;

.

Отсюда, .

Вернемся к вычислению интеграла.

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: