Теоретико-множественный смысл разности. Ваксиоматической теории вычитание натуральных чисел было определено как операция, обратная сложению:

Ваксиоматической теории вычитание натуральных чисел было определено как операция, обратная сложению:

а-b = с Û ($ с Î N) b + с=а.

Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а - п(А), b = п(В).

Теорема 3. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество А\В¹ тоже конечно причем выполняется равенство п(А \В) = п(А) -п(В).

Доказательство. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке 112. Разность А\В на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти поформуле п(А) = п(В) + п(А\В), откуда, по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что п(А\В) =п(А)-п(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = п(А), b = п(В) и В Ì А:

а-b = п(А) -п(В) = п(А\В), если В Ì А.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а так вычитание а из а. Так как А\ Æ = А, А\А = Æ, то а-0 =а и а-а = 0.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев; множество В берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип– оно представляет собой дополнение множества В до А.

В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию п(А) = 7, п(В) = 4 и В Ì А, то п(С) = п(А\В) = п(А) - n (B) = 7 - 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7-4 = 3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила: «Если а,b,с- натуральные числа и а > с, то (а + b) - с = (а - с) + b».

Пусть А, В и С- такие множества, что п(А) = а, п(В) =b и А Ç В = Æ, СÌ А (рис. 113). Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство (А È В)\С = (А\С) È В. Но п((А È В)\С) = п(А È В)-п(С) = (а + b)-с, а п({А\С) È В) – п(А\С) + п(В) = (а-с)+b. И следовательно, (а + b) - с = (а - с) + b, если а > с.

С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».

В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») естественным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а - п(А), b = п(В) и установлено, что а < b, то, исходя из теоретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В₁, равномощное множеству А, и непустое множество В\В₁. Если число элементов в множестве B\B₁ обозначить через с (с ¹ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов: п(В) = п(В) + п(В\В₁) или b = а + с, что означает, что «а меньше b на с» (или «больше а на с»).

Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или b больше а на с») означает, что если а = п(А), b = п(В), то в множестве содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов.

Так как с = п(В\В\), где В₁ Ì В, п(В) = b, n (B₁) = а, то, по определению разности, с = а – b. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числам теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «боль на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач этими отношениями.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т е п(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же сколько их в А, и еще 2 элемента (рис. 114). Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: п(В) = п(В₁) + п(В\В₁) =5 + 2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.

Рассмотрим ещё одну задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?» Выясним, почему она решается при помощи вычитания.

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. п(А) = 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же сколько их в А, но без двух (рис. 115). Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, но без двух. Таким образом, п(В) = п(А₁) = п(А) -п(А\А₁)=5-2. Так как 5 - 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.

Упражнения

1. Объясните с теоретико-множественной точки зрения смысл выражений:

а) 8-3; б) 4-4; в) 4-0.

2. Объясните, почему нижеприведённые задачи решаются при помощи вычитания?

а) В корзине было 7 морковок, 3 из них отдали кроликам роликам. Сколько морковок осталось?

б) На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?

в) На верхней полке шкафа 7 книг, а на нижней 4. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?

3. Обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) На одной полке 5 книг, на другой на 3 больше. Сколько книг на двух полках?

б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько всего детей гуляло во дворе?

4. Запишите, используя символы, правило вычитания суммы из числа и дайте его теоретико-множественное истолкование.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: