Схема исследования на экстремум функции двух переменных.

1. Найти частные производные функции : и .

2. Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы функции.

Пример 23. Найти экстремумы функции .

Решение.

1) Найдем частные производные .

2) Решим систему уравнений

3) Найдем частные производные второго порядка и их значения в критических точках: . В точке получим: значит, в точке экстремума нет. В точке получим: значит, в точке минимум.

4) .

Ответ.

Глобальный экстремум (наибольшее и наименьшее значение функции).

Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений.

1) Найти критические точки, лежащие внутри области, вычислить значение функции в этих точках.

2) Исследовать функцию на границе области; если граница состоит из нескольких различных линий, то исследование необходимо провести для каждого участка отдельно.

3) Сравнить полученные значения функции и выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 24. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике .

Решение. 1) Найдем критические точки функции, для этого найдем частные производные: , и решим систему уравнений:

Получили критическую точку A . Полученная точка лежит внутри заданной области.

y 2

B C

. A