Постановка задачи обоснования решений в условиях определенности

Поставим в соответствие каждому из концептуальных исходов операции значения результатов для них. В силу влияния различных факторов шансы появления тех или иных исходов операции различаются, а потому, естественно, что будут различаться и шансы появления тех или иных результатов. Последнее обстоятельство, а именно — различие шансов появления тех или иных значений результатов, обязательно должно учитываться ЛПР при обосновании и принятии им решения.

Схематично описанный механизм анализа будущих последствий каждого из возможных вариантов решения

представлен на рис. 2.1.

мета исследования (явления, объекта, понятия и др.). Вершины графа моделируют частные составляющие предмета исследования. Эти составляющие содержательно раскрываются в ходе декомпозиции свойств предмета при постепенном увеличении масштаба исследования. В соответствии со смыслом рассматриваемого частного аспекта предмета исследования

ЛПР присваивает каждой вершине графа имя, которое далее рассматривается как имя обобщенной или частной характеристики.

Останов процесса увеличения масштаба исследования и, следовательно, ветвления графа должен происходить в тот момент, когда ЛПР считает, что терминальная составляющая адекватно описана понятной, измеримой и интерпретируемой характеристикой — частным результатом операции.

Иерархическая семантическая структура, которая может служить универсальным шаблоном для формирования векторного результата в любой конкретной операции, представлена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Иерархическая семантическая структура для формирования векторного результата операции

Путь к терминальным ветвям ИСС, где будут располагаться имена частных компонентов векторного результата,

проходит на рис. 2.2 через обобщенные семантические характеристики с именами "Эффект", "Затраты", "Время". Далее эти характеристики уточняют ("увеличиваем масштаб исследования"), а дерево разворачивается вниз. Например, "Эффект" декомпозируем на такие составляющие, как "Изменения в свойствах, составе или структуре объектов" и "Изменения во взглядах, впечатлениях, суждениях, мнениях, предпочтениях субъекта". Концептуальный критерий "Затраты" расчленяем по составляющим "Материальные" и "Психологические"; относительно временных свойств исхода интересуемся временами "Принятия решения", "Начала первых изменений" или "Завершения операции" и т. д. Стрелки внизу условно показывают, что подобные уточнения понятий и ветвления дерева могут проводиться до тех пор, пока этого требует проблемная ситуация для принятия ЛПР окончательного решения относительно имен частных компонентов векторного результата. Таким образом, предложенную иерархическую семантическую структуру следует считать (с позиций ТПР) графической моделью процесса применения системных принципов цели, декомпозиции и однозначной семантики (одинакового толкования понятий) к анализу проблемной ситуации. Сама структура, представленная на рис. 2.2, может нами рассматриваться как шаблон для построения векторного результата или критерия для оценки предпочтительности альтернатив.

Предположим теперь, что ЛПР оценивает шансы Ps. всех результатов у. (а) на рис. 2.1 как незначительные, а для одного результата, например у(а), как абсолютные. Это означает, что по результатам анализа факторов, определяющих облик "механизма проблемной ситуации", им сделало одно из следующих умозаключений:

• или объективно условия проведения операции таковы, что для каждой фиксированной альтернативы (варианта проведения операции) известно, что она неизменно приводит к вполне определенному результату, т. е. механизм операции объективно однозначный по связи "альтернатива — результат";

• или объективно "механизм операции" многозначный, но субъективно, по своему мнению ЛПР оценивает проявление неоднозначности связи между альтернативой и результатом как весьма несущественное; другими словами, ЛПР считает, что результаты изменяются столь незначительно, что оно согласно считать разнящиеся значения этих результатов для одной и той же альтернативы приблизительно одинаковыми.

Как нам уже известно, это формально означает, что операция проводится в условиях определенности ("детерминированный механизм ситуации"). Подобный тип механизма представлен на рис. 2.3 следующим упрощенным вариантом рассмотренной выше схемы (см. рис. 2.1).

Рис. 2.3. Модель ситуации принятия решений в условиях определенности

На этом рисунке обозначения имеют тот же смысл, как и на рис. 2.1. Для оценки предпочтительности векторного

результата на его значениях строится критерий W(a), как об этом говорилось в п. 1.2.2. Критерий W(a) также может быть как скалярным, так и векторным.

Вербальная постановка задачи принятия решений в условиях определенности выглядит следующим образом.

В этой связи при обосновании решений прежде всего стремятся выяснить, нельзя ли свести исходную общую задачу к

более простому, частному виду. Например, концептуальные частные критерии в ИСС могут иметь настолько сильное различие в важности, что, по сути, задача сводится к оценке вариантов решений только по одному из них. Иногда частные критерии эффекта, затрат и времени некоторым "естественным" образом агрегируются в скалярную функцию, либо исходная задача с векторным результатом может быть представлена как бы скалярной, если значения всех частных результатов кроме одного слабо варьируются по альтернативам. В подобной ситуации разумно задачу с векторным критерием аппроксимировать задачей со скалярным критерием. Бывает, что информация об относительной важности частных критериев позволяет заранее определить способ решения задачи через какие-то вспомогательные скалярные критерии. Нередко множество альтернатив является дискретным, что также значительно упрощает поиск наилучшего решения.

Для каждой из таких частных постановок задач разработаны свои наиболее выгодные технологии их решения, часть из которых будет рассмотрена далее.

Технологии решения задач по скалярному критерию

Принятие решений означает разрешение проблемной ситуации, которая представляет собой такое взаимодействие человека как субъекта мышления и объекта, при котором возникает противоречие между имеющимися знаниями и способами действия на основе потребности в новых знаниях о внешних условиях и актуальных элементах среды. Проблемная ситуация включает следующие компоненты:

1) познавательную потребность, и в том аспекте проблемная ситуация — это состояние субъекта;

2) интеллектуальные возможности;

3) неизвестные знания или проблему - задачу.

Именно сочетание этих трех компонентов отличает проблемную ситуацию от различных познавательных ситуаций. Выделяют три варианта таких ситуаций:

а) когда человек знает то, что он знает,—в этом случае нет проблем, нет и необходимости в мышлении;

б) когда он не знает, что он не знает, — в этом случае можно говорить о будущих научных проблемах, которые еще не встали перед человеком;

в) когда он знает то, что он не знает. В этом случае он имеет дело с подлинной проблемной ситуацией. Одна из ее особенностей и состоит в том, что человек может, опираясь на свои резервы, вычленить задачу или проблему и найти ее решение. Принять решение в управлении означает еще и сформулировать цель, поставить теперь эту задачу для субъекта исполнения, дать общее направление и наметить программу действий, открытую для коррекции.

Принятие решений в ряде случаев приобретает специфические признаки в зависимости от вида проблемной ситуации и условий управленческой деятельности. Различают три вида проблемных ситуаций:

1). Детерминированные. Это ситуации, в которой события и явления увязаны линейной причинно-следственной связью (самый простой пример: если солнце садится, скоро будет темно).

2) Вероятностные. Это ситуации, в которых наступление того или иного события, проявление свойства может осуществиться с той или другой степенью вероятности (например: падающая монета или кубик с цифрами).

3) Стратегические. Это ситуации, в которых определенное явление может или должно произойти в отдаленном будущем (например: выполнение годового плана, получение диплома, получение урожая и т. д.).

В реальной жизни все эти виды ситуаций могут переплетаться между собой на оси времени и событий и определяют движение управленческой информации в разных конкретных циклах и стадиях.

Для получения эффективного решения необходимо:

1) определить содержание проблемы и поставить цель;

2) установить все относящиеся к делу факторы, ограничения и зависимости;

3) в пределах наложенных ограничений по срокам и стоимости собрать как можно больше необходимых данных;

4) провести анализ этих данных;

5) выявить альтернативные решения и оценить их в терминах затрат и выгод;

6) выбрать оптимальное решение.

Отсюда следует, что эффективная выработка решений - это искусство выбора лучшей среди имеющихся альтернатив.

Этот выбор производится при трех возможных состояниях знания:

· определенность,

· риск,

· неопределенность.

Выбор между различными стратегиями производится в условиях таких сред, которые лицо, принимающее решения, контролирует слабо или не контролирует вовсе. Термин “сущность явления” используем для обозначения подобных условий.

Решения прямо зависят от знания лицом, принимающим решения, сущности явлений и того, как каждая из рассматриваемых стратегий может быть реализована при определенном состоянии этой сущности.

Знания лица, принимающего решения, могут быть классифицированы как состояния определенности, риска и неопределенности.

Определенность понимается как такое состояние знания, когда лицо, принимающее решение, заранее знает конкретный исход для каждой альтернативы. Иначе говоря, лицо, принимающее решение, обладает исчерпывающим знанием состояния среды и результатов каждого возможного решения.

Определенность имеет место в большинстве арифметических и алгебраических задач, а также во многих моделях линейного и нелинейного программирования. Такие модели используются для поиска варианта распределения ресурсов, дающего, наибольшую отдачу по определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость), или наименьшему значению некоторого другого критерии (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений.

В действительности только, немногое может оставаться определенным на достаточно большом временном интервале. Поэтому, стратегические решения принимаются в условиях, весьма далеких от полного знания. Соответственно, они принимаются в условиях либо риска, либо неопределенности.

Риск определяется как состояние знания, когда известны один или несколько исходов по каждой альтернативе, когда вероятность реализации каждого исхода достоверно известна лицу, принимающему решение. В условиях риска лицо, принимающее решение, обладает неким объективным знанием среды действий и способно объективно прогнозировать вероятную сущность явлений и исход или отдачу по каждой из возможных стратегий. Наиболее общим критерием для каждой стратегии будет ожидаемая стоимость

Неопределенность - это такое состояние знания, когда одна или более альтернатив имеют ряд возможных исходов, вероятность которых либо неизвестна, либо не имеет смысла. Поэтому, в отличие от риска, неопределенность будет субъективным явлением. Два наблюдателя, рассматривающих определенную ситуацию, никогда не смогут одинаково сформулировать ее количественные характеристики. Это происходит не только потому, что они обладают различными уровнями знаний, но и потому, что они имеют различные темпераменты и подходы. Неопределенность часто бывает обусловлена быстрыми изменениями структурных переменных и явлений рынка, определяющих экономическую и социальную среду действия фирмы.

В условиях определенности лицо, принимающее решение знает все о возможных состояниях сущности явлений, влияющих на решение, и знает, какое решение будет принято. Лицо, принимающее решение, просто выбирает стратегию, направление действий или проект, которые дадут максимальную отдачу.

Следует заметить, что в научной литературе слово "решение" часто употребляется вместе с прилагательным "оптимальное". В классической математике оптимальность понимается в смысле обеспечения экстремального (наибольшего или наименьшего) значения целевой функции. Вообще бессмысленно говорить об оптимальном решении, не уточняя целевого устремления. Таким образом, одно и то же решение может оказаться, например, оптимальным по оперативности, но неэкономичным, или если например, наиболее экономичным, то неэргономичным и т. п.

Человек часто склонен представлять себе ситуацию обоснования решения как задачу выбора в условиях определенности по единственному числовому показателю, то есть по скалярному показателю. Многие задачи обоснования решений по комбинации показателей (векторному показателю) могут быть формально сведены к схеме задачи принятия решения по скалярному показателю или декомпозированы на j таких задач.

Поскольку операция проводится в условиях определенности, исследователь решает задачу моделирования исходов операции путем установления вида однозначного функционального преобразования "альтернатива - результат".

Таким образом, формализация словесно поставленной задачи сводится

к описанию в явном виде связи между характеристиками x альтернативы а из множества А и детерминированных факторов, значениями показателя u(х) и к формулировке задачи выбора как оптимизационной.

Прежде чем переходить к решению задачи оптимизации, необходимо установить, к какому классу задач математического програм­мирования (то есть задач отыскания экстремума заданной функции на указанном множестве) она относится. Это поможет выбрать наиболее действенный метод ее решения.

Приведем классификацию задач математического программирования. В основу ее положим вид целевой функции и характер области допустимых решений, зависимость основных элементов задачи от времени.

Если целевая функция и функции-ограничения (равенства или неравенства) линейны, то задача относится к классу задач линейного программирования. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, задача относится к классу задач нелинейного программирования.

Среди задач линейного и нелинейного программирования, в свою очередь, можно выделять дискретные и непрерывные, одномерные и многомерные, статические и динамические задачи (в последней одной из переменных является время).

Если размерность задачи невысока и функции, определяющие ограничения, аналитические, то в подавляющем большинстве случаев решение может быть найдено классическими аналитическими методами. Если число переменных не более двух -графическим методом. В особо сложных случаях (при высокой размерности задачи, сложном виде целевой функции или ограничений или когда получение даже одного результата измерения целевой функции и(или) функций-ограничений сопряжено с чрезвычайно большими затратами ресурсов) используют численные методы.

Общий алгоритм решения задачи оптимизации численным методом

Учитывая большую практическую значимость численных методов для обоснования решений в сложных ситуациях, рассмотрим общий алгоритм и дадим классификацию этих методов применительно к задаче нелинейной оптимизации.

Формально любой численный метод можно описать следующим общим алгоритмом:

шаг № 1: выбор начальной точки x(0), t = 0;

шаг № 2: выбор направления μ(t) движения к экстремуму;

шаг № 3: выбор величины λ(t) шага перемещения в направлении μ(t);

шаг № 4: вычисление новой точки x(t + 1) = x(t) + λ(t) • μ(t);

шаг № 5: проверка выполнения условий останова: не выполнены - переходк шагу № 6; выполнены - переход к шагу 7;

шаг № 6: увеличение значения параметра t на единицу и переход к шагу № 2;

шаг № 7: останов.

В этом алгоритме запись x(t) имеет смысл значения вектора х на шаге t. Этой символики будем придерживаться и далее при рассмотрении алгоритмов и в иных подобных случаях.

Технология решения скалярных задач оптимизации

Вначале обсудим методы решения статических задач, в которых целевая функция и характеристики альтернатив не зависят от времени. При этом больше внимания будем уделять методам безусловной оптимизации. Это объясняется тем, что многие оптимизационные задачи с ограничениями - задачи условной оптимизации - могут быть декомпозированы на ряд задач без ограничений.

Классические методы, условной и безусловной оптимизации основаны на отыскании стационарных точек целевой функции. Так, классический подход заключается в замене задачи на экстремум задачей поиска решений системы трансцендентных уравнений.

Прямые методы обеспечивают получение точного решения за конечное число шагов с помощью соответствующих формул (например, формула для определения корней уравнения второй степени). Итерационные методы основаны на использовании рекуррентных процедур и обеспечивают получение приближенного решения, сколь угодно близкого к точному. Итерационные методы получили наибольшее распространение в практике обоснования решений.

В качестве критерия останова во всех ранее рассмотренных численных методах оптимизации используют следующие правила:

В общем случае для решения задач оптимального управления процессами используется три класса методов:

· прямые методы (основаны на сведении исходной задачи к задаче математического программирования);

· методы, основанные на динамическом программировании Беллмана;

· методы, использующие принцип максимума Понтрягина.

В основу прямых методов положена аппроксимация исходной задачи с непрерывным временем задачей с дискретным временем. При этом временной интервал [Тн, Тк] обычно квантуется с постоянным шагом, дифференциалы в уравнениях движения заменяются отношениями конечных разностей, а интегралы (если они содержатся в постановке задачи) - конечными суммами. В результате получается задача математического программирования с новыми переменными x(k), a(k), где k = 0, 1,..., К, причем К = (Тк - Тн - Δt)/ Δt, где Δt - шаг квантования.

Динамическое программирование было создано на рубеже 50-х гг. XX столетия группой американских специалистов, однако, благодаря ряду идей и практических приемов, предложенных Р. Беллманом, оно часто связывается с его именем. Динамическое программирование применяется как метод решения задач оптимального управления непрерывного и дискретного типов с целевой функцией достаточно произвольного вида.

12. Эффективные альтернативы и технологии их отыскания без учета относительной важности частных критериев.

В отличие от задач обоснования решений по скалярному критерию, результатом решения которых является оптимальная в рамках соответствующей модели альтернатива, в задачах с векторным критерием нельзя с абсолютной уверенностью утверждать, что то или иное решение действительно (объективно) оптимально. Один из вариантов решения может превосходить другой по одним критериям и уступать по другим (другому) критериям. Следовательно, объективно утверждать, что какое-то из двух решений в указанных условиях лучше другого, не представляется возможным. Только со временем будет объективно ясно, сколь верным было принятое решение. Пока же, т. е до реализации решения, до оценки его фактическойэффективности, личные предпочтения ЛПР, его опыт и интуиция являются единственной основой, которые хоть как-то помогают ему предвидеть последствия принятого компромиссного (по значениям частных критериев) решения. Невозможно строго математически доказать, что выбранное решение наилучшее — любое решение из числа недоминируемых, т. е. неулучшаемых одновременно по всем частным критериям, может оказаться наилучшим для конкретного ЛПР в конкретных условиях. Таким образом, сложность проблемы принятия решений по векторному критерию даже в условиях определенности связана не столько с вычислительными трудностями, сколько с концептуальной обоснованностью выбора “оптимального” решения.

Сравнение альтернатив по векторному критерию прежде всего будем осуществлять по следующему очевидному правилу: всякая альтернативакритерия не менее предпочтительнее любой другой, если для нее значение векторного значения критерия не хуже, чем у другой альтернативы, т. е.

а| >=Ш(а2) (2. 7)

где а,, а2 — альтернативы;

й^(а) — векторный критерий;

>“= — символ отношения нестрогого предпочтения.

В выражении (2.7) словосочетание “отношение нестрогого предпочтения” следует понимать в математическом смысле [39]. Означает оно в этом смысле нестрогое упорядочение, заданное на элементах какого-то множества. Наиболее употребительными в математической теории принятия решений являются бинарные отношения, так как они легко интерпретируются и достаточно просто выявляются традиционными способами выражения элементарных суждений [39].

Для математического моделирования предпочтений всегда важно знать, какими из свойств бинарных отношений оно обладает. Среди разнообразных свойств бинарных отношений нас прежде всего будут интересовать такие, как реф- лексивностъ, симметричность, транзитивность и связность

(полнота), поскольку именно они во многом определяют разрешающую способность модели — способность точно предсказывать истинные предпочтения II выборы ЛПР. Если перечисленные свойства у бинарного отношения, моделирующего предпочтения ЛПР, в той или иной степени отсутствуют, этот факт будем отмечать указанием на нерефлексивность, несимметричность, несвязность, вплоть до их полной противоположности, а именно: антирефлексивности, антисимметричности и т. п.

В частности, бинарное отношение называют эквивалентностью, если оно обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности. Это отношение играет важную роль при принятии решений, поскольку моделирует факт разбиения множества предъявленных ЛПР элементов на определенные классы одинаковой предпочтительности. Элементы, принадлежащие одному классу эквивалентности, равноценны по предпочтению, а принадлежащие разным классам — резко различаются по предпочтительности при их сравнении с элементами других классов. Эквивалентность между элементами можно понимать как их взаимо.заменимость при выборе для ЛПР. При этом свойство транзитивности очень важно для однозначности отнесения объекта к тому или иному классу. Если отношение предпочтения только лишь симметрично и рефлексивно, то оно будет толерантностью (образовывать класс "похожих" элементов), но не эквивалентностью. Так, например, результаты сортировки в ходе экспертизы могут моделироваться либо как эквивалентность, либо как толерантность — в зависимости от степени уверенности, с которой ЛПР сортировало множество предъявления в соответствии со своими предпочтениями. Обычно ЛПР среди предъявленных ему элементов может уверенно отнести к тому или иному классу лишь элементы субъективно "сильно" различающиеся между собой, а среди оставшихся, "похожих", действует менее уверенно. В результате транзитивность на границах между классами может нарушаться, а выявленное отношение предпочтения моделируется лишь рефлексивным и симметричным бинарным отношением, которое н представляет собой толерантность.

Бинарное отношение называют строгим порядком, если оно транзитивно и строго антисимметрично. С его помощью моделируют отношение строгого предпочтения ЛПР. Примером отношения строгого порядка является отношение "меньше" на множестве действительных чисел. Если же бинарное отношение помимо свойств транзитивности и антисимметричности обладает еще и рефлексивностью, то это — ква.зипо- рядок ("почти порядок"). Например, результаты попарного сравнения какнх-то элементов в ходе экспертизы в общем случае могут оказаться как рефлексивными, так и антнреф- лексивными, поскольку сравнение элементов производится только в парах, т. е. без учета остальных элементов. Это может привести к тому, что свойство транзитивности на множестве всех элементов может отсутствовать. Ранжирование элементов — это также один из распространенных способов выявления элементарных суждений в ходе экспертизы. Так вот, оно в общем случае задает отношение квазипорядка на множестве всех элементов, поскольку разрешается разные элементы располагать на одном месте в упорядоченном ряду. А вот если этого делать не разрешено, если ранжирование так называемое строгое, то при строгом ранжировании моделируемое отношение предпочтения будет отношением строгого порядка. Результаты же балльного оценивания, а также результаты выражения предпочтения субъективными вероятностями или коэффициентами важности устанавливают отношение связного ква.зипорядка.

Из всего сказанного следует, что наиболее серьезными недостатками моделей предпочтения, вскрытыми в ходе экспертизы с использованием элементарных суждений, является отсутствие свойств транзитивности и связности. Именно это зачастую затрудняет анализ истинных предпочтений ЛПР. Понимая это, указанные недостатки моделей предпочтений всячески стараются избежать, специально организуя экспертизу, объединяя ее с математическими методами проверки, анализа и повышения достоверности суждений. В результате простая экспертиза превращается в сложный процесс — процесс экспертного оценивания.

Если в процессе экспертного оценивания установлено, что на множестве оценок ю критерия IV предпочтения ЛПР транзитивные, связные и непрерывные, то каждый исход операции можно оценить по предпочтительности с помощью функции ценности и(м). Для задач обоснования решений в условиях определенности эта функция является частным случаем функции и(а) полезности. Доказано [22], что функция ценности существует всегда, когда ЛПР считает, что для любой оценки и) уменьшение значений одних компонент ил может быть компенсировано увеличением значений других компонент ил так, что исходная оценка 'т и новая оценка ил оказываются одинаково предпочтительными. Говорят, что в таком случае предпочтения ЛПР плавные, что не изменяются резко, скачком. Функция ценности задает весьма совершенную модель предпочтения, которая обладает свойствами связного квазипорядка. Если функция ценности построена, значит перед вами самый короткий путь для решения задачи выбора наилучшей альтернативы: выбирайте туальтернативу, у которой измеренная с помощью этой функции ценность наибольшая.

Однако подчас необходимые для построения функции ценности знания в области ТПР, умения и навыки у ЛПР отсутствуют, а требуемые для совершения этой работы активные ресурсы — время, деньги, специальное математическое обеспечение пт. п. — отсутствуют в нужных количествах. Да ведь и не все проблемы, возникающие перед ЛПР, на практике оказываются столь важными, чтобы обязатель- но как можно более точно моделировать его предпочтения. Как тут быть? Во всех перечисленных случаях для отыскания наилучшей альтернативы ТПР рекомендует ЛПР следовать принципу Родена. Когда у этого великого скульптора спросили, как ему удается создавать столь великие шедевры, Роден ответил: "Я просто беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее!"

Прекрасная идея: последовательно отсекайте от множества альтернатив все элементы, которые "не нужны", которые являются "лишними", а то, что останется (не лишнее), — это и есть то, что вам нужно — наилучшая альтернатива (или несколько эквивалентных по предпочтительности наилучшихальтернатив). Концептуальную идею, изложенную в вербальной форме Роденом, реализовал в формальном виде и превратил в одну из наиболееэффективных функций выбора видный социолог и экономист В. Парето (вспомните, ему же принадлежало и известное нам правило "20/80"). Парето ввел понятие взаимной независимости частных критериев по предпочтительности и на основе этого сформулировал известную аксиому о доминируемости. Рассмотрим это понятие и эту аксиому. При этом везде далее будем полагать, что для ЛПР большие значения каждого из частных критериев предпочтительнее меньших значений. Задачи обоснования решений с такими направлениями предпочтений по всем критериям будем называть положительно ориентированными (по предпочтениям).

Подумаем вот над каким вопросом: могут ли измениться направления предпочтений по каким-то из критериев в зависимости от того, какие в этот момент приняли значения другие критерии? Вопрос этот не праздный. Оказывается, что если число т частных критериев больше двух, то направления предпочтения по одним критериям могут измениться в зависимости от того, какие значения принимают другие критерии. Такая ситуация наблюдается, если ЛПР считает необходимым "выдержать пропорцию" между значениями критериев, придать их значениям некую определенную им гармоничность. Например, гармоничными должны быть размеры концертного зала филармонии для обеспечения выразительного звучания оркестра, гармоничными должны быть характеристики экспансии товаров на рынке сбыта, чтобы уровень сервиса при продаже, качество гарантийного и послегарантийного обслуживания отвечали заявленным в рекламе при разумных уровнях затрат на них. Везде в ситуациях разработки решений, подобных описанным в примерах, может измениться направление предпочтения по одному или нескольким частным критериям в зависимости от того, какие значения приобрели другие критерии.

Если же направление предпочтения по какому-либо критерию не изменяется с изменением значений других критериев, то такой критерий будем называть независимым ио предпочтению от остальных. Следует сказать, что на практике довольно часто оказывается, что, по мнению ЛПР, каждый критерий является независимым по предпочтению от остальных. Такую ситуацию с предпочтениями ЛПР будем характеризовать словами “взаимная зависимость частных критериев по предпочтению”.

Аксиома Парето (принцип доминирования).

Если частные критерии W. взаимно независимы по предпочтению, то из двух векторных оценок го(а), ги(Ь), для которых выполняются неравенства

to,(a) > ги.(Ь), г =1,2,...,т, (2.8)

векторная оценка ги(а) не менее предпочтительна оценки u>(b). При этом если хотя бы одно из указанных нестрогих неравенств выполняется как строгое, то оценка ги(а) доминирует над оценкой ги(Ь).

Будем обозначать любую информацию о предпочтениях, на основе которой построена модель предпочтения ЛПР, с помощью аббревиатуры inf. Для уточнения типа модели предпочтения и того, на основе какой конкретно информации эта модель построена, будем использовать различные аббревиатуры. Так, информацию о предпочтениях ЛПР, содержащую сведения о взаимной независимости критериев по предпочтительности, будем обозначать аббревиатурой гор (от англ. independence of preference). Если inf = iop, то из исходного множества вариантов решений как раз и можно выделить

так называемые недоминируемые (их еще называют эффек- I тивные, нехудшие, неулучшаемые одновременно по всем критериям) альтернативы. С учетом этих обозначений крат- | кую формальную запись факта доминирования альтернативы а над альтернативой Ь запишем так:

а >- =1и>р) Ь <=> ю{а) го(Ь) <=>. го(а) > гиДЬ), г = 1, 2,...,т. (2.9)

Если все неравенства в выражении (2.9) выполняются как равенства, то альтернативы а и Ь эквивалентны (символ «) по предпочтительности. Формальная запись такого факта имеет вид а=<и>р1 Ь.

Отношения (2.8) и (2.9) не являются связными, так как для произвольных векторных оценок ш(а), ги(Ь) часть неравенств (2.8) может выполняться “в одну сторону”, (т. е. га(а) > > Ю'(Ь)), а остальные — “в другую сторону” (го(а) < и^(Ь)). Такие векторные оценки оказываются несравнимыми по Парето и образуют множество недоминируемых оценок, которым соответствует множество недоминируемых (эффективных по Парето) альтернатив. Таким образом, отличительной особенностью недоминируемых или эффективных по Парето альтернатив является то, что ни у одной из них ни по одному из их частных критериев оценка не может быть улучшена без ухудшения оценки какого-то другого (или других) критерия. Следовательно, эффективные альтернативы между собой несравнимы, и на множестве значений векторных оценок можно определить результат применения функции выбора. Этот результат применения функции выбора на множестве значений векторных оценок будем называть ядром отношении по заданной информации о предпочтениях ЛПР и обозначать е//(ю,гп/). Таким образом, ядро отношения Парето получит обозначение е//(ю,юр). Для задач с положительно ориентированными критериями ядро е//(ю,юр) отношения Парето расположено в северо-восточном направлении на границе достижимого множества векторных оценок. При этом мощность множества оценок ядра может быть различной в зависимости от конкретных особенностей (в частности, кон фигурации) достижимого множества оценок.

Если для каждой альтернативы уже получены оценки частных критериев, поиск эффективного ядра, как правило, не вызывает затруднений. Технология здесь предельно проста: 1) выбрать какую-то альтернативу; 2) включить ее во множество недоминируемых; 3) взять очередную альтернативу из исходного множества; назовем ее "претендент"; 4) проверить, не доминируется ли "претендент" альтернативой из множества недоминируемых; если "претендент" не домннируется, то проверить, не доминирует ли он над первой; если "претендент" доминирует, исключить первую альтернативу из числа недоминируемых, а "претендента" включить в число недоминируемых, иначе — "претендента" также включить в число недоминируемых; 5) если среди альтернатив исходного множества осталась хотя бы одна еще не проверенная на эффективность, назначить ее "претендентом", иначе — "Stop"; 6) последовательно проверять, не доминируется ли "претендент" какой-либо из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых; при первом же обнаружении факта доминирования над "претендентом" его из дальнейшего анализа исключить и перейти к шагу 5; 7) последовательно проверять, не доминирует ли "претендент" над какой-то из альтернатив, ранее уже включенных во множество недоминируемых; если окажется, что "претендент" доминирует над какой-то из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых, эту альтернативу из множества недоминируемых исключить; 8) перейти к шагу 5; 9) "Stop".

Как было показано автором [9], данный алгоритм значительно выгоднее по числу сравнений, которые потребуется провести, чтобы найтиэффективное ядро, чем прямое использование правила (2.9).

Если же нет данных о значениях оценок критерия W(a) для альтернатив а € А, а эти оценки могут быть получены, если предварительно формально задать описание альтернатив a G А через некоторые их характеристики х в X, то задача построения эффективного ядра существенно усложняется. Здесь приходится специальным образом организовать зондирование пространства X характеристик альтернатив, для каждой получаемой точки х в X, отражающей а? А, вычислять W(a), а затем уже решать вопрос о доминировании. Чтобы придать указанному процессу логическую направленность, в общем-то, вновь обращаются к соотношению (2.9), но технологически его интерпретируют по-разному. Рассмотрим наиболее распространенныетехнологии отыскания эффективных альтернатив по методу зондирования пространства характеристик и графически проиллюстрируем их смысл для двумерного случая векторного критерия [39].

Технология, основанная на использовании теоремы Гер- мейера, пригодна для случая, когда все частные показатели имеют положительные оценки, т. е. все и\ > 0. Технология предполагает назначение в качестве “уровней притязаний” в правой части выражения (2.8) минимальных значений w. для “претендента”, а поиск эффективной альтернативы вести по направлениям от начала координат в сторону возрастания значений каждого из частныхкритериев. Если оценку “претендента” обозначить через х, а на правление \ поиска эффективной альтернативы задать, например, как А = l/x0i, то максимум функции

Г(Ху, а) = min {Х ги.(а)}

будет достигаться на эффективной альтернативе, принадлежащей ядру. Графиком функции min {Х.-ги((а)} является прямой угол, стороны которого параллельны осям w. координат в пространстве оценок векторного критерия. Следовательно, все значения критерия, которые имеют хотя бы одну изчастных компонентов лучше, чем “претендент”, геометрически будут точками, принадлежащими северо-восточной подобласти в направлении от границ этого прямого угла. Максимизации функции Гермейера min {Хги.(а)} по множеству альтернатив обязательно приведет к множеству eff(w, гор), т. е. кэффективной границе.

Однако функция Гермейера не очень удобна для оптимизации. Поэтому второй часто используемой технологией поиска эффективных альтернатив является процесс, основанный на применении классического метода гласного показателя.

Получаемая в результате оптимизации альтернатива со значением ю* векторного критерия будет эффективной.

Еще более простой в применении оказывается техноло- 1Я, предполагающая максимизацию не одного, “главного”, 1СТНОГО критерия, а линейной свертки от всех критериев.)та технология построена на результатах теоремы, доказанной тремя учеными — Куном, Таккером и Карлиным. Было показано, что если множество альтернатив, задаваемых характеристиками х, выпукло, а все гу(а) — вогнуты, то для всякой эффективной стратегии а найдутся такие неотрицательные числа у„ в сумме равные единице, что

Ф(у,а0)=тах1у,и',(а).

а /=1

Ясно, что требование вогнутости юх(а) и выпуклости IV существенны, поскольку иначе не все эффективные альтернативы, а именно те, векторные оценки которых принадлежат вогнутой части эффективной границы, не смогут быть выделены по этой технологии ни при каких величинах весовых коэффициентов у.

направление возрастания ее значений (направление градиента). Когда указанная функция достигает максимума при заданных значениях коэффициентов у, прямая ф(у, а) = const занимает положение касательной к границе eff(w, гор). Из рис. 2.7, г видно, что точка с, лежащая на вогнутой части эффективной границы, действительно не достижима ни при каких значениях параметров у рассматриваемой линейной сверки оценок критериев.

Итак, множество эффективных альтернатив не шире исходного множества, а подчас существенно уже его. Но все же ядро е//(ги, гор) отношения Парето может включать достаточно большое число элементов. И это обстоятельство не позволяет сразу осуществить выбор наилучшего решения. Например, установлено, что для двумерного дискретного множества достижимых векторных оценок, состоящего из N независимо сгенерированныхальтернатив, математическое ожидание числа элементов ядра отношения Парето стремится к величине 1п N. Как мы уже знаем, все эти альтернативыне сравнимы. Для дальнейшего выбора лучшей из них необходимо привлечь дополнительную информацию о предпочтениях ЛПР. Такой дополнительной информацией могут служить сведения об относительной важности частных критериев. Соизмеряя степень влияния изменения значений одного из критериев по сравнению с изменением значений другого (других), ЛПР может установить относительную важность частных критериев.

13. Техноло­гии отыскания эффективных решений с учетом относительной важности критериев.

Характеризуя тот или иной метод решения задачи с векторным критерием, как практическую реализацию способа построения функции выбора, его можно относить к группе методов, либо приводящих к единственному решению, либо, выделяющих все или заданное число нехудших решений. Ориентируясь на точ­ность, с которой известны исходные данные, ЛПР может регулировать объем множества выбора.

Наиболее известными и широко применяемыми являются метод обобщенного критерия, метод главного критерия, а также метод последовательных уступок.

Все эти методы объединяет общий прием поиска решения: векторный крите­рий тем или иным способом превращается в скалярную целевую функцию, а затем решается задача оптимизации. При этом предполагается, что от ЛПР может быть получена вся необходимая информация для построения агрегирую­щей функции.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: