Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока (напряжения, мощности и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.

Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части - на сопротивление R, ток которого I нужно определить, и всю остальную цепь, ее называют активным двухполюсником, так как эта часть имеет две клеммы А и В, к которой и подключается сопротивление R (рис. 4.15).

Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем име­ется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает опре­деленной ЭДС Е_ЭК и определенным внутренним сопротивлением R_ЭК и называется эквивалентным генератором.

Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома

Таким образом, определение тока I сво­дится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора Е_ЭК и его внутреннего сопро­тивления R_ЭК.

Величина ЭДС Е_ЭК определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек А и В при разомкну­тых клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС можно измерить вольтметром, подключенным к клеммам А и В при холостом ходе.

Рис. 4.15

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R_ЭК вы­числяется относительно точек А и В после предварительной замены всех источников сложной схемы эквивалентного генера­тора их внутренними сопротивлениями.

Практически для определения внутреннего сопротивления эк­вивалентного генератора измеряют амперметром ток между точ­ками А и В работающего двухполюсника при коротком замыка­нии, так как сопротивление амперметра настолько мало, что им можно пренебречь. Тогда

(4.10)

где U_Х.Х - напряжение холостого хода, I_К.З - ток короткого замыка­ния.

Такой метод практического определения внутреннего сопро­тивления эквивалентного генератора R_ЭК называется методом хо­лостого хода и короткого замыкания.

Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС Е_ЭК и внутреннего сопротивления R_ЭК, рассматриваются в примерах 4.12 и 4.13.

Пример 4.12

Определить ток в сопротивлении R₁,подключенном к точкам А и В электрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквива­лентного генератора.

Рис. 4.16

Решение

Для определения тока I в сопротивлении R₁ определим ЭДС эк­вивалентного генератора Е_ЭК (рис. 4.16а) и его внутреннее сопро­тивление R_ЭК (рис. 4.16б) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цепи (между точками A и В).

Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включены встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так как Е₁ > Е₂ (см. пример 4.6).

Напряжение

В.

Напряжение

В.

Следовательно, В.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

Ом

Искомый ток А.

Такой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении R₁.

Пример 4.13

В схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны R₁ = 1 Ом; R₂ = R₃ = R₄ = 2 Ом.

Сопротивление гальванометра R_Г = 98,33 Ом, ЭДС источника Е_И = 12 В; R_0H = 0. Методом эквивалентного генератора определить ток в ветви гальванометра (между точками А и В).

Рис. 4.17

Решение

Для определения тока в цепи гальванометра I_Г методом эквивален­тного генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного гене­ратора Е_ЭК между точками А и В (рис. 4.17б) и внутреннее сопротив­ление эквивалентного генератора R_ЭК относительно точек A и В при отсутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник ЭДС E_И его внутренним сопротивлением (R_0H = 0) равным нулю.

Для определения ЭДС эквивалентного генератора Е_ЭК принима­ют потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е. φ_С = 0. Тогда

При замене источника ЭДС Е_И его внутренним сопротивле­нием, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы (рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления R₃ и R₄ соедине­ны между собой параллельно. Также параллельно соединены между собой сопротивления R₁ и R₂. Между точками А и В сопро­тивления R_1,2 и R_3,4 соединены последовательно. Следователь­но, сопротивление эквивалентного генератора относительно то­чек А и В будет равно

Ом.

Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точ­ки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен

A.

8. Потенциальная диаграмма.

Потенциальной диаграммой называется графическое изображение распределения электрического потенциала вдоль замкнутого контура в зависимости от сопротивления участков, входящих в выбранный контур.

Для построения потенциальной диаграммы выбирают замкнутый контур. Этот контур разбивают на участки таким образом, чтобы на участке находился один потребитель или источник энергии. Пограничные точки между участками необходимо обозначить буквами или цифрами.

Произвольно заземляют одну точку контура, её потенциал условно считается нулевым. Обходя контур по часовой стрелке от точки с нулевым потенциалом, определяют потенциал каждой последующей пограничной точки как алгебраической суммы потенциала предыдущей точки и изменения потенциала между этими соседними точками.

Изменение потенциала на участке зависит от состава цепи между точками. Если на участке включен потребитель энергии (резистор), то изменение потенциала численно равно падению напряжения на этом резисторе. Знак этого изменения определяют направлением тока. При совпадении направлений тока и обхода контура знак отрицательный, в противном случае он положительный.

Если на участке находится источник ЭДС, то изменение потенциала здесь численно равно величине ЭДС данного источника. При совпадении направления обхода контура и направления ЭДС изменение потенциала положительно, в противном случае оно отрицательно.

После расчета потенциалов всех точек строят в прямоугольной системе координат потенциальную диаграмму. На оси абсцисс откладывают в масштабе сопротивление участков в той последовательности, в которой они встречались при обходе контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Потенциальная диаграмма начинается с нулевого потенциала и заканчивается после обхода контура таковым. При откладывании значений сопротивлений последующие значения откладываются от предыдущих.

Пример.

Для цепи, изображенной на рис. 3.2, дано:

Е₁ = 8 В; Е₂ = 24В; Е₃ = 9,5 В; R₁ = 0,5 Ом; R₂ = 1 Ом; R₃ = 1,5 Ом; R₀₁ = 0,15 Ом; R₀₂ = 0,1 Ом; R₀₃ = 0 Ом.

1. Определить величину и направление тока в цепи.

2. Определить потенциал точек В, С, D, Е, G, приняв потенциал точки А равным нулю, .

3. Построить потенциальную диаграмму.

4. Составить и проверить баланс мощностей для цепи.

Рис. 3.2.

Решение

1. Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке, тогда величина тока

Знак «минус», полученный в результате вычислений, указывает на то, что ток направлен против выбранного направления обхода, как показано на рис. 3.2. В дальнейших расчетах знак «минус» не учитывается. Таким образом, источник ЭДС Е₂ работает в режиме генератора, а Е₁ и Е₃ - потребителей.

2. Для определения потенциалов указанных точек обходим контур по направлению тока. При этом получаем

3. Для построения потенциальной диаграммы по оси ординат в масштабе откладываются потенциалы точек, а по оси абсцисс - сопротивления участков. Потенциальная диаграмма изображена на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

9. Метод узловых потенциалов.

Рис. 4

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно (m-1), где m – число узлов в схеме.

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем потенциал точки С равный нулю φ_c = 0.

Допустим, что φ_a и φ_b известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

(1)

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

(2),

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

(3).

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

(4).

Аналогично можно записать для узла b:

(5)

(6)

(7).

Совместное решение (4) и (7) относительно φ_a и φ_b позволит определить искомые потенциалы данных точек.

Система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части i -го уравнения записывается со знаком «+» потенциал φ_i i -го узла, для которого составляется данное i -е уравнение, умноженный на сумму проводимостей Y_ii ветвей, присоединенных к данному i -му узлу, и со знаком «-» потенциал φ_k соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей Y_ik ветвей, присоединенных к i -му и k -му узлам.

Из сказанного следует, что все члены φ_iY_ii, стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком «+», а все остальные - со знаком «-», причем Y_ik = Y_ki. Последнее равенство обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. В правой части i -го уравнения записывается так называемый узловой ток J_i, равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i -му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком «+», если соответствующая ЭДС направлена к i -му узлу, в противном случае ставится знак «-». Если в подходящих к i -му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

10. Баланс мощности.

Под балансом мощностей электрической цепи понимается равенство мощностей, развиваемой всеми источниками энергии данной цепи, и мощности, потребляемой всеми приемниками той же цепи (закон сохранения энергии).

Если на участке цепи ab имеется источник энергии с ЭДС и по этому участку протекает ток , то мощность, развиваемая этим источником, определяется произведением .

Каждый из множителей этого произведения может иметь положительный или отрицательный знак относительно направления ab. Произведение будет иметь положительный знак, если знаки расчетных величин и совпадают (мощность, развиваемая данным источником, отдается приемникам цепи). Произведение будет иметь отрицательный знак если знаки и противоположны (источник потребляет мощность, развиваемую другими источниками). Примером может служить аккумулятор, находящийся в режиме зарядки. В этом случае мощность данного источника (слагаемое ) входит в алгебраическую сумму мощностей, развиваемых всеми источниками цепи, с отрицательным знаком. Аналогично определяется величина и знак мощности, развиваемой источником тока. Если на участке цепи mn имеется идеальный источник тока с током , то мощность развиваемая этим источником, определяется произведением . Как и в источнике ЭДС знак произведения определяется знаками множителей.

Теперь можно записать общий вид уравнения баланса мощностей

.

Для цепи, представленной на рис. 5 уравнение баланса мощности имеет вид

.

Рис. 5

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: