Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве G Rⁿ заданы функции.

y_i=f_i(x) i=1,2,3,…,m (6.1)

x=(x₁,x₂,…,x_n).Обозначим через Е множество точек x G, в которых все функции f_i i=1,2,3,…,m обращаются в нуль:

E={x: f_i(x)=0, i=1,2,3,…,m, x G} (6.2)

Уравнения

f_i(x)=0, i=1,2,3,…,n (6.3)

будем называть уравнениями связи.

Определение: пусть на множестве G задана функция y=f₀(x).Тогда x⁽⁰⁾ E называется точкой условного экстремума (принят также термин “относительный экстремум”) функции f₀(x) относительно (или при выполнении) уравнений связи (6.3), если она является точкой обычного экстремума этой функции, рассмотриваемой только на множестве Е.

Иначе говоря, здесь значения функции f₀(x) в точке x⁽⁰⁾ сравниваются не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями в точках, принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов, можно, естественно, рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

Будем предполагать, что

1) все функции f₀,f₁,f₂,…, f_m непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G;

2) в рассматриваемой точке x⁽⁰⁾ векторы f₁, f₂,…, f_m линейно независимы, т.е. ранг матрицы Якоби

f_j j=1,2,…,m

x_i i=1,2,…,n

равен m-числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов f₁, f₂,…, f_m).

Это означает, что функции системы (6.1) независимы в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾.Поскольку в n-мерном пространстве не может быть больше чем n линйено независимых векторов и ранг матрицы не может быть больше чиола столбцов, то из условия 2) следует,что m<n.

Согласно условию 2) в точке x⁽⁰⁾ хотя бы один из определителей вида

(f₁, f₂,…, f_m)

(x_i1,x_i2,…,x_im)

отличен от нуля.Пусть для определенности в точке x⁽⁰⁾.

(f₁, f₂,…, f_m)

(x_i1,x_i2,…,x_im) (6.4)

Тогда, в силу теоремы о неявных функциях, систему уравнений (6.3) в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) можно разрешить относительно переменных x₁,x₂,…,x_m:

x₁= ₁(x₁,x₂,…,x_m)

x₂= ₂(x₁,x₂,…,x_m)

…………………… (6.5)

x_m= _m(x₁,x₂,…,x_m)

Поставив значения x₁,x₂,…,x_m, даваемые формулами (6.5) в y=f₀(x), т.е. рассмотрев композицию функции f₀ и ₁, получили функцию

y= f₀(₁(x_m+1,…,x_n),…, _m(x_m+1,…,x_n), x_m+1,…,x_n)==0(x_m+1,…,x_n) (6.6)

от n-m переменных x_m+1,…,x_n,определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) в (n-m)–мерном пространстве R^n-m.

Поскольку, согласно теореме о неявных функциях, условия (6.3) и (6.5) равносильны,то справедливо следующее утверждение.

Точка x⁽⁰⁾ является точкой (строгого) условного экстремума для функции g относительно уравнений связи (6.3) в том и только том случае, когда x⁽⁰⁾ является точкой обычного (строгого) экстремума (6.6).

Если x⁽⁰⁾– точка обычного экстремума функции g, то она является стационарной точкой этой функции:

dg (x⁽⁰⁾)=0 (6.7)

Напомним, что дифференциал – линейная однородная функция и его равенство нулю означает равенство нулю этой функции при любых значениях ее аргументов, в данном случае – при любых dx_m+1, dx_m+2,…, dx_n.Это возможно,очевидно, в том и только том случае, когда все коэффициенты при этих аргументах, т.е. производные g/ x_m+k, k=1,2,…,n-m обращаются в нуль в точке x⁽⁰⁾.Условие (6.7) необходимо для условного экстремума в точке x⁽⁰⁾.

Таким образом, метод, основанный на решение системы уравнений (6.3) через элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать методом, позволяющим найти условный экстремум не решая системы (6.3).Такой способ,так называемый метод множетелей Лагранжа, изложен в следующем пункте.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: