Решение невырожденных систем линейных уравнений. Матричный метод. Формула Крамера. Метод Гаусса.

Матричный метод

Записать систему в матричном виде АХ=В. Умножим обе части последнего матричного уравнения слева на матрицу А^-1.Поскольку А^-1×А = Е и ЕХ=Х, то формула для нахождения столбца их неизвестных примет вид: Х = А^-1×В

Формула Крамера

Введём следующие обозначения:

т.е. определители ∆₁, ∆₂, ∆₃, получаются из определителя ∆ путём замены его 1,2 и 3 столбцов соответственно столбцом свободных членов, тогда единственное решение системы может быть найдена по формуле Крамера: х₁=∆₁/∆, х₂=∆₂/∆, х₃=∆₃/∆.

Метод Гауса

С помощью элементарных преобразований над строками приведём матрицу А к трапецидеальному виду:

Далее запишем систему линейных уравнений, которая соответствует расширенной матрице А?:

х₁ + а^’₁₂ х₂ + а^’₁₃ х₃ = в^’₁

х₂ + а^’₂₃ х₃ = в^’₂

х₃ = в^’₃

из которых последовательно и найдём искомое решение.

Совместность системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен рангу её расширенной матрицы Ā. Если ранг матрицы А= рангу матрицы Ā и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы А = рангу матрицы Ā, но меньше числа неизвестных то система имеет бесконечное множество решений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: