Сложные учетные ставки

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления слож-
ных процентов.
Пусть

d_c (%) — сложная годовая учетная ставка;
d_c — относительная величина сложной учетной ставки;
Ic_n у — коэффициент наращения для случая учетной ставки;
/ — номинальная годовая учетная ставка.

Тогда по прошествии первого года наращенная сумма S₁ в со-
ответствии с формулой (2.5) составит

Еще через год эта формула будет применяться уже к сумме S₁:

и т. д., аналогично случаю сложных ставок ссудных процентов.
По прошествии п лет наращенная сумма составит

(4.1)

Отсюда для множителя наращения имеем

(4.2)

Сравнивая формулы (3.1) и (4.1), легко видеть, что при равен-
стве ссудного процента и учетной ставки наращение первона-
чальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет
быстрее.

Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что
декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а
антисипативный — для кредитора. Это можно считать справедли-
вым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение
не столь значительно (рис. 2). Но с ростом процентной ставки
разница в величине наращенной суммы становится огромной
(при этом она сама растет с ростом л), и сравнение двух методов с

точки зрения выгодности утрачивает смысл. Представить себе эту
разницу можно с помощью графика на рис. 3.

Рис. 2. Декурсивный (нижняя кривая) и антисипативный

(верхняя кривая) способы начисления сложных процентов

при *<%) = </<<%) = 10%

Рис. 2. Декурсивный (нижняя кривая) и антисипативный

(верхняя кривая) способы начисления сложных процентов

при 4<%) = </,<%) = 30%

Из формулы (4.1) также явствует, что для периодов начисле-
ния, превышающих один год, учетная ставка может принимать

значения только строго меньшие (т. е. не достигающие) 100%.
Иначе величины P или S не будут иметь смысла, становясь беско-
нечными или даже отрицательными. Наращенная сумма S очень
быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, ко-
гда d{%) приближается к 100%.

В следующем разделе рассмотрим, какие учетные ставки дают
результаты, одинаковые с наиболее распространенными в насто-
ящее время ставками ссудных процентов.

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные
варианты начисления антисипативных процентов (начисление за
короткий — меньше года — интервал, начисление т раз в году и
т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогич-
ным образом.

Так, для периода начисления, не являющегося целым числом,
имеем

(4.3)

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, на-
ращенная сумма превращается в

(4.4)

Здесь /I₁, /I₂,..., n_N— продолжительность интервалов начисле-
ния в годах, d_{, d₂,..., d_N — учетные ставки, соответствующие
данным интервалам.

Для начисления процентов т раз в году формула имеет такой
вид:

(4.5)
или

(4.6)

При этом тп — целое число интервалов начисления за весь пе-
риод начисления, / — часть интервала начисления.

При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по
формуле:

(4.7)

Из полученных формул путем преобразований получаем фор-
мулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления
и величины учетной ставки:

(4.8)
(4.9)

(4.10)

(4.11)
(4.12)

Мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В
заключение составим таблицу, дающую возможность наглядного
представления результатов, получаемых при этих способах для
одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине
процентных ставок и периодов начисления п.

Таблица 1. Величина наращенной суммы в зависимости
от вида процентной ставки

P = 10 000 ам. долл., величина процентной ставки — 10%

Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными для
большинства читателей — наибольший рост капитала мы имели
бы в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
(Следует заметить, что на практике она не применяется на дли-
тельных, больше года, периодах начисления.)

Однако, для того, чтобы выбрать в каждом конкретном случае
наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать
получаемые суммы. Можно воспользоваться эквивалентными про-
центными ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.

Пример 15

Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. Опреде-
лить величину наращенной суммы через три года при примене-

нии декурсивного и антисипативного способов начисления про-
центов. Годовая ставка — 25%.

Решение

По формулам (3.1) и (4.1) получаем:

5₁ = 25 000 000 (1 + 0,25)³ = 48 828 125 (руб.);

5₂ = 25 000 000/(1 - 0,25)³ = 59 255 747 (руб.).
Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия

в результатах при разных способах начисления процентов. Разни-
ца составляет больше 10 млн. руб.

Пример 16

Определить современное значение суммы в 120 000 000 руб.,
которая будет выплачена через два года, при использовании
сложной учетной ставки 20% годовых.

Решение

Производим расчет по формуле (4.8):

P = 120 000 000 (1 - 0,2)² = 76 800 000 (руб.).

2.5. Эквивалентность процентных ставок
различного типа

Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым
операциям, возникает необходимость в определении эквивалент-
ных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные
ставки разного вида, применение которых при одинаковых на-
чальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случа-
ях, когда существует возможность выбора условий финансовой
оперции и требуется инструмент для корректного сравнения раз-
личных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок использу-
ют уравнения эквивалентности, принцип составления которых за-
ключается в следующем. Выбирается величина, которую можно
рассчитать при использовании различных процентных ставок
(обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух вы-
ражений для данной величины и составляется уравнение эквива-
лентности, из которого путем соответствующих преобразований
получается соотношение, выражающее зависимость между про-
центными ставками различного вида.

Вспомним обозначения, использованные ранее:

I — простая годовая ставка ссудного процента;

d — простая годовая учетная ставка;

/_с — сложная годовая ставка ссудного процента;

d_c — сложная годовая учетная ставка;

j — номинальная ставка ссудного процента;

/ — номинальная учетная ставка.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при
различных способах начисления процентов, полученные в пре-
дыдущих параграфах этой главы:

(1.7)

(2.5)

(3.1)

(3.6)

(4.1)

(4.5)

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотно-
шения, выражающие зависимость между любыми двумя различ-
ными процентными ставками.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: