Беттегі қисықтың қисықтығы

Ғ жатық бетті (61-1) теңдеуімен, онда жатқан қисық табиғи параметр арқылы (61-2) теңдеумен берілсін. Онда ол сызықтың векторлық теңдеуі = =(u(S), v(S)) болар еді.

Бұдан алынған 1-туынды қисыққа М нүктедегі жанама вектор болады. = _u + _v мұндағы = _u + _v арқылы белгілейміз (өйткені - = бірлік вектор болатын).

Бұдан алынған туындыны қисықтың қисықтық векторы дегеніміз:

= _uu ²+ _uv + _uu + _u + _vv ²+ _v ²

Мұның ұзындығын | |=k қисықтың берілген нүктедегі қисықтығы деген едік. Ол Френенің екінші формуласы бойынша қисықтың бос нормаларының

бірлік векторы мен былайша байланысатын =k . Егер L сызықтың M нүктедегі бас нормалы -шы беттің M нүктедегі нормалы аралығындағы бұрышты Ө десек онда | |=k( )=k| || | cosӨ = k·1·1cosӨ=kcosӨ болады.

377-сурет

Бұл қисықтың векторы -нің сол нүктеден жүргізілген бет нормалы -ге түскен проекциясы болады. (377-сурет) k( )=k_u деп белгілеп L қисықтық M нүктедегі нормал қисықтығы дейді. Екінші жағынан

( )=( _uu ) ²+( _uv ) +( _vu · ) +( _u · ) +( _vv ) +( ) ²=

Сонымен соңғы екі теңдіктен тұрақты сонда (61-7)

K_n -нің шамасы беттегі L қисықтың нүктедегі нормал қисықтығы ал к нүктедегі сол нүктедегі қисықтығы болады. (61-7) теңдеуі Менье теоремасы деп аталады.

Егерде L, беттің нормал қимасы болса (яғни беттегі M нүктеден жүргізілген нормалын басып өтетін жазықтықты беттің қимасы болса (онда мен бағытта ( ↑↑ ) не қарама – қарсы бағытта ( ↑↓ ) болатыны түсінікті (мәні Ө не 0⁰ не 180⁰ болады).

Бірінші жағдайда жағдайда , екінші жағдайда болады.

Сөйтіп нормал қиманың нормал қисықтығы абсалют жанама жағынан қиысатын сол нүктедегі қисықтығына тең болады.

Егер бағытта десек онда деуге болады.

Бұдан беттегі қисықтың M нүктедегі нормал қисықтығы сол нүктедегі жанама бағытына ғана байланысты болатын көрінеді. Сондықтан беттің бір нүктесінен өтетін және бір ортақ барлық жанамамен қисықтардың нормал қисықтары бірдей болады.

Демек беттің M нүктесінен өтетін кез келген қисықтың нормал қисықтығы сол қисықпен ортақ жанамасы нормал қиманың қисықтығына абсалют ашама жакғынан тең болады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: