ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Неприводимые представления группы трансляцийДля рассмотрения представлений группы трансляций воспользуемся циклическими граничными условиями, т.е. будем считать, что после трансляции на +1 периодов трансляция совпадёт с трансляцией , т.е. . Произвольный элемент группы трансляций можно записать в виде . Все трансляции коммутируют друг с другом и, следовательно, группа трансляций абелева. Группу трансляций можно рассматривать как прямое произведение трёх циклических групп с элементами . Неприводимые представления циклической группы одномерны. Такие представления группы , имеющие порядок , определяются числами , где m - номер неприводимого представления, , а n - степень соответствующего элемента циклической группы. Следовательно, неприводимые представления группы трансляций с элементами имеют вид . Таким образом, каждое неприводимое представление группы определяется тройкой чисел , а число различных неприводимых представлений равно произведению . Определим тройку векторов соотношениями . Решение этой системы относительно неизвестных векторов b приводит к такому результату: , где везде в числителе стоит в квадратных скобках векторное произведение, а объём параллелепипеда, построенного на трёх базисных векторах a. Легко видеть, что размерность векторов b обратная по отношению к размерности векторов a, поэтому эти вектора называют векторами обратной решётки (по отношению к решетке, определяемой векторами a). С помощью обратных векторов введём новый вектор , С вектором неприводимые представления группы трансляций на вектор могут быть записаны в виде . Два вектора и в обратном пространстве различающиеся на вектор , где - целые положительные и отрицательные числа, включая ноль, называются эквивалентными и характеризуют одно и то же представление. Вектора называются векторами обратной решётки. В качестве области изменения вектора , удобно выбрать такую односвязную область, которая содержит в себе начало координат и для которой выполняются следующие условия: а) эта область не содержит эквивалентных векторов; б) для произвольного вектора обратной решётки в этой области найдётся эквивалентный вектор. Эта область называется приведённой зоной Бриллюэна. Если вектор лежит на границе зоны Бриллюэна, то всегда существует, по крайней мере, один эквивалентный ему вектор , также лежащий на границе зоны Бриллюэна. Нетрудно проверить, что симметрия прямой и обратной решёток совпадают. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|