Лекция № 1. Что изучают численные методы.

Появление и постоянное совершенствование вычислительной техники привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в частности. Изменилась технология научных исследований, увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря развитию и применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В связи с потребностями новой техники инженерная практика все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых весьма сложно или неизвестно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям.

Возникновение в середине XX века и ускоренное развитие вычислительной техники позволило разработать и развить численные методы решения многих известных задач алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений.

Первоначально элементы математики появились в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого математика была численной математикой – ее целью было получение результата в виде числа.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие математики прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания (математической модели) и его исследование. Анализ сложных моделей потребовал создания специальных, численных методов решения задач. Названия некоторых из таких методов методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита – свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.

Для настоящего времени характерно резкое расширение применения математики, во многом связанное с созданием и развитием средств вычислительной техники.

Распространенное мнение о всемогуществе современных ЭВМ часто порождает впечатление, что математики избавились почти от всех проблем, связанных с численным решением задач, и разработка новых методов решения уже не столь актуальна. В действительности это не так.

Один из общих законов развития науки состоит в том, что потребности развития общества часто ставят перед ней задачи, несколько превышающие ее возможности. Расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию других разделов науки: химии, экономики, биологии, геологии, географии, психологии, медицины, конкретных разделов техники. В других разделах науки, например, физике и механике, построение математических моделей для описания различных явлений природы и изучение этих моделей с целью объяснения известных и предсказания новых эффектов является традиционным. Современные успехи в решении таких важных для общества задач, как атомные, космические, экономические, вряд ли были бы возможны без применения ЭВМ и численных методов.

Требование численного решения новых задач приводит к появлению новых методов. Наряду с этим происходит интенсивное теоретическое осмысление как старых, так и новых методов, их систематизация. Примером является хорошо известный из курса алгебры метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. При применении этого метода очень часто даже при относительно небольшом количестве уравнений и неизвестных погрешности округлений, накапливаясь, искажают результат так, что метод оказывается неприменимым. По этой причине некоторое время назад программисты отказались от применения метода Гаусса. Однако с ростом возможностей вычислительной техники произошел новый всплеск интереса к этому методу: оказалось возможным проводить вычисления с двойной точностью, что позволило резко уменьшить вычислительные погрешности, были разработаны различные эффективные модификации метода Гаусса. Потребности практики привели к развитию так называемых эвристических методов.

Теоретические исследования в области численных методов в основном группируются вокруг численных методов решения так называемых типичных математических задач. В настоящее время сюда принято относить задачи алгебры (решение линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений, задачи на собственные числа и собственные значения), математического анализа (приближение функций, дифференцирование, интегрирование), решение дифференциальных и интегральных уравнений, задачи оптимизации, обратные задачи.

Работа, связанная с созданием и применением численных методов, складывается из чисто теоретических исследований методов решения типичных задач, анализа алгоритмов при решении модельных задач, вычислительного эксперимента и ряда других моментов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: