Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k ₁ и k ₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C ₁ и C ₂ − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k ₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k ₁ = α + βi, k ₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: