Фундаментальная система решений

Совокупность n линейно независимых частных решений y ₁, y ₂,..., y_n называется фундаментальной системой линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка.
Функции y ₁, y ₂,..., y_n являются линейно независимыми на отрезке [ a, b ], если тождество

выполняется лишь при условии

где числа α ₁, α ₂,..., α_n одновременно не равны 0.
Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского или вронскиан:

Если функции y ₁, y ₂,..., y_n, дифференцируемые n − 1 раз, являются линейно зависимыми на отрезке [ a, b ], то выполняется тождество:

Соответственно, если эти функции линейно независимые на [ a, b ], то справедлива формула

Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе y ₁, y ₂, y ₃ через определитель в следующем виде:

Выражение для дифференциального уравнения n -го порядка записывается аналогично:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: