Метод половинного деления

Пусть уравнение (1.1) f (x) =0 на отрезке [a,b] имеет единственный корень, т.е. функция y = f (x) удовлетворяет условиям Теоремы 1. И пусть вторая производная f’’(x) имеет постоянный знак на этом отрезке.

Метод половинного деления (дихотомии) заключается в последовательном уменьшении отрезка, содержащего корень уравнения, путем его деления пополам.

Алгоритм метода

1. Поделим отрезок [a, b] пополам. За начальное приближение корня возьмем середину отрезка .

2. Если значение функции в этой точке равно 0, т.е , то x₀ является корнем уравнения.

3. Если , то из двух полученных отрезков выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет разные знаки. В качестве последующей итерации выбираем средину этого отрезка. Продолжаем итерационный процесс путем деления нового отрезка пополам.

4. Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока не выполнится условие (1.5), т.е.

Метод касательных

Пусть уравнение (1.1) f (x) = 0 на отрезке [a, b] имеет единственный корень, т.е. функция y = f (x) удовлетворяет условиям Теоремы1. И пусть вторая производная f’’(x) имеет постоянный знак на этом отрезке.

Геометрически метод Ньютона заключается в замене небольшого участка дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке к этой кривой.

Рассмотрим случай, когда f ^’’ (x) > 0 (график функции выпуклый книзу) для xÎ [a,b], f(а)<0, f(b)>0 (см. рис. 1.6)

Алгоритм метода

1. Выберем начальное приближение x₀ из условия:

f(x₀) f ^’’(x₀) >0 (1.6).

Для функции y = f (x) (рис. 1.6) вторая производная больше нуля f ^’’(x₀) > 0, ( функция выпукла книзу), f(a)<0, f(b)>0.