Критерий согласия (хи-квадрат) К. Пирсона

На практике вычисление статистики (в критерии Колмогорова) – трудоемкая задача, поэтому часто применяют другой критерий, называемый критерием (хи-квадрат). Его можно использовать для любых распределений, в том числе и многомерных. Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирической функции (гистограммы) распределения с гипотетической функцией (плотностью) распределения, выбранной в качестве основной гипотезы, т.е. , где - функция распределения генеральной совокупности, которая нам не известна; а - гипотетическая функция распределения, которая выбирается произвольно.

Критерий строится следующим образом. Полученную выборку (если предполагать, что она получена из непрерывного распределения) предварительно группируют, т.е. переходят к частотному представлению данных. Для этого всю числовую ось необходимо разбить на интервалов группировки: .

Обозначим эти интервалы как: , , …, . Далее, по известной функции распределения вычисляем вероятности попадания значений выборки в указанные интервалы группировки , , …, :

, ,

причем .

Обозначим через число тех из выборки (), которые удовлетворяют условию: . Тогда при справедливости основной гипотезы случайные величины (частоты) , , …, имеют полиномиальное распределение с числом испытаний и вероятностями исходов (). Тогда

.

Тем самым первоначальная задача сведена к проверке гипотезы о том, что частоты , , …, имеют полиномиальное распределение. В этом случае частоты должны быть близки к среднему значению , . Обще отклонение всех частот можно измерять разными способами. Чаще всего в качестве меры отклонения используют статистику , введенную К. Пирсоном:

.

Величина случайна и называется статистикой хи-квадрат Пирсона. Пирсон доказал, что она обладает важным свойством: при случайная величина при справедливости основной гипотезы асимптотически подчиняется распределению с степенями свободы (здесь это количество интервалов группировки либо это число исходов в одном испытании при рассмотрении дискретных распределений).

С помощью этого результата введем следующий критерий проверки гипотезы . Зададим уровень значимости , выберем величины , и найдем по ним вероятности . Фактически, гипотеза выглядит так: , где – это гипотетические вероятности попадания в –ый интервал группировки, которые либо даны заранее, либо вычисляются на основе распределения . Гипотеза здесь является простой, так как все параметры распределения известны. Границу критической области критерия Пирсона для проверки гипотезы находим из условия, что . Тогда, так как имеет распределение с степенями свободы, то в качестве критического значения критерия берем величину , т.е. квантиль распределения на уровне . Таким образом, если , то гипотеза о виде распределения отвергается в пользу других распределений. Асимптотический характер распределения требует осторожности при практическом использовании этого критерия. На него можно полагаться, только если все , при этом считаем, что . Чтобы соблюсти эти требования, на практике порой приходиться объединять несколько интервалов группировки, т.е. переходить к полиномиальной схеме с меньшим числом . Укажем следующие правила выбора :

или при .

Можно рекомендовать еще одно простое правило: нужно выбирать как можно большее , но не превышающее .

Пример. При бросаниях монеты "герб" выпал 2048 раз. Требуется проверить гипотезу о том, что монета была симметричной, т.е. что вероятности выпадения "герба" и "цифры" равны соответственно и .

Здесь число исходов . Проверяемая гипотеза : , т.е. гипотетическое распределение является биномиальным распределением с параметром . Тогда , . Вычисляем статистику критерия:

.

Возьмем уровень значимости , тогда число степеней свободы равно . По таблицам распределения находим квантиль . Сравниваем полученное значение с табличной величиной . Так как , то гипотеза не отвергается, т.е. монету можно считать симметричной.

Критерий согласия хи-квадрат Фишера при неизвестных параметрах распределения (для сложной гипотезы)

Изложенный выше критерий Пирсона применим в том случае, когда гипотеза является простой, т.е. проверяемое распределение полностью определено. Однако чаще встречаются случаи, когда известен лишь тип закона распределения (например, нормальное), но неизвестны некоторые его параметры . и гипотеза состоит в проверке того, что . Для проверки таких сложных гипотез может быть использована модификация критерия Пирсона.

Пусть исходные данные (выборка ) сгруппированы и , , …, – частоты наблюдений, попавших в интервалы группировки , , …, . Пусть вероятности попадания в эти интервалы группировки (вероятности исходов) при гипотезе известны с точностью до параметра . Тогда эти вероятности являются функциями от : , причем . Будем предполагать, что для всякого . Тогда при статистика

асимптотически распределена по закону хи-квадрат с степенями свободы (здесь - это число неизвестных параметров гипотетического распределения ). Существует много вариантов теоремы Фишера. Например, такое же, как выше, предельное распределение имеет статистика

,

где – точечная оценка максимального правдоподобия для параметра , найденная по частотам , , …, , тогда статистику можно однозначно найти. Статистика называется статистикой хи-квадрат Фишера для сложной гипотезы.

Проверка гипотезы осуществляется так: на уровне значимости гипотеза отвергается, если .

Например, пусть проверяется гипотеза о нормальности выборки, причем параметры распределения и неизвестны. Тогда, в качестве оценок этих параметров берем статистики и . Далее, находим вероятности попадания в интервалы группировки: , , …, . После этого вычисляем значение статистики хи-квадрат Фишера и сравниваем его с соответствующим значением квантили распределения хи-квадрат.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: