Дифференцирование неявных функций нескольких переменных. Понятие о производных высших порядков.

Функция называется неявной, если она задается уравнением F(x; y; z) = 0 неразрешенным относительно z. Найдем частные производные dz/dx и dz/dy неявной функции z. Для этого, подставив в уравнением вместо z функцию f(x; y) получим тождество

Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Если функция F(x; y; z) и её производные определены и непрерывны в некоторой окрестности точки М₀(x₀; y₀; z₀), то существует окрестность точки М₀, в которой уравнение определяет единственную функцию, непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (x₀; y₀) и такую, что f(x₀; y₀) = z₀.

Производной n – го порядка функции называется производная от ее производной n-1 – го порядка, т. е.

Пример. Пусть y = x⁵ + 3x⁴. Найти производную 3–го порядка

Решение. Найдем последовательно производные до 3–го порядка.

y` = 5x⁴ + 12x³

y `` = 20x³ + 36x²

y ``` = 60x² + 78x

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: