Поле кругового тока и соленоида

ГЛАВА 5

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

Основные формулы

· Закон Био — Савара — Лапласа

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом i водника с током; m — магнитная проницаемость; m₀ — магнитная постоянная (m₀ =4p · 10 ^-7 Гн/м); dl — вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

Модуль вектора d B выражается формулой

где a — угол между векторами d l и r.

· Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением

или в вакууме

· Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

где R — радиус кривизны проводника.

· Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

где r — расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводником

Обозначения ясны из рис. 21.1, а. Вектор индукции В перпенди­кулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой.

При симметричном расположении концов проводника относи­тельно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 21.1, б), и, следовательно,

· Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в сред­ней его части (или тороида на его оси),

где п — число витков, приходящих­ся на единицу длины соленоида; I — сила тока в одном витке.

· Принцип суперпозиции маг­нитных полей: магнитная индук­ция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций В ₁, В₂,..., В _n складываемых полей, т. е.

В частном случае наложения двух полей

а модуль магнитной продукции

где a — угол между векторами В₁ и В₂.

Примеры решения задач

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I =60 А, расположены на

расстоянии d= 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного про­водника на расстоянии г₁=5 см и от другого — на расстоянии r₂ = 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точ­ке А (рис. 21.2) определим направле­ния векторов индукций В ₁ и В ₂ по лей, создаваемых каждым проводни­ком в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B=B ₁+ B ₂. Модуль индукции найдем по теоре­ме косинусов:

Значения индукций Bi и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от провода до точки, индукцию

в которой мы вычисляем: Подставляя B₁ и В₂ в формулу (1) и вынося за знак корня, получим

(2)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для маг­нитной индукции (В=М_mак /р_п). Откуда следует, что

Вычисляем cosa. Заметим, что a = /_ DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем , где d — расстояние между проводами. Отсюда

Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos a = 0,576.

Подставив в формулу (2) значения m₀, I, r₁, r₂ и cos b, найдем В =286 мкТл.

Пример 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находя­щимся на расстоянии r=5 см друг от друга в воздухе, текут токи I =10 А каждый. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого то­ками в точке, лежащей по­середине между проводами, для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 21.3, а); 2) провода парал­лельны, токи текут в про­тивоположных направле­ниях (рис. 21.3, б); 3) про­вода перпендикулярны, на­правление токов указано на рис. 21.3, в.

Решение: Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: B=B₁+B₂, где B₁ — индукция поля, создаваемого током 1 ₁; В₂ — индукция поля создаваемого током I ₂.

Если B₁ и В₂ направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В=В₁+В₂. (1)

При этом слагаемые В₁ и В₂ должны быть взяты с соответствую­щими знаками. В данной задаче во всех трех случаях модули индукций В₁ и В₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от про­водов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле

B= m₀ I /(2pr). (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В₁ и В₂:

В₁=В₂=80 мкТл.

1-й случай. Векторы B₁ и В₂ направлены по одной прямой (рис. 21.3, а); следовательно, результирующая индукция В опреде­ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз — отрицательным, запишем: В ₁ =— 80 мкТл, В ₂=80 мкТл.

Подставив в формулу (1) эти значения В ₁ и B ₂, получим

В=В ₁ +В₂=0.

2-й случай. Векторы В ₁ и В ₂ направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 21.3, б). Поэтому можем за­писать

В ₁ =В ₂ =— 80 мкТл.

Подставив в формулу (1) значения B ₁ и В ₂ получим

В=В ₁ +В ₂ =— 160 мкТл.

3-й случай. Векторы индукций магнит­ных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 21.3, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадра­та, построенного на векторах В ₁ и В ₂. По теореме Пифагора найдем

(3)

Подставив в формулу (3) значения В ₁ и В ₂ и вычислив, получим Рис. 21.4 B =113 мкТл.

Пример 3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемо­го отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равно­удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r ₀ =20 см от середины его (рис. 21.4). Сила тока I, текущего по про­воду, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, соз­даваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био — Савара—

— Лапласа:

(1)

Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину элемента d l проводника через da. Согласно рис. 21.4, запишем

Подставим это выражение d l в формулу (1): Рис. 21.4

Но r — величина переменная, зависящая от a и равная Подставив r в предыдущую формулу, найдем

(2)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого от­резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от a₁ до a₂:

Заметим, что при симметричном расположении точки A относитель­но отрезка провода cos a₂= – cos a₁. С учетом этого формула (3) примет вид

Из рис. 21.4 следует

Подставив выражение cos a₁ в формулу (4), получим

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вы­числения:

Пример 4. Длинный провод с током I =50 А изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 21.5). Расстояние d=5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответ­ствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная ин­дукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций B₁ и В₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов

1 и 2, т. е. В = В ₁ +В ₂. Магнитная индукция В ₂равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, d В =0([dlr]=0).

Магнитную индукцию В ₁ найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3:

где г₀ — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рис.21.6)

В нашем случае α₁→0 (проводник длинный), α₂=α= =2π/3 (cos α₂=cos (2π/3))=–½. Расстояние г₀ =d sin (π−α)= d sin(π/3)= . Тогда магнитная индукция

Так как В = В ₁(В ₂=0), то

Вектор В сонаправлен с вектором В ₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 21.6 это направление отмечено значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).

.

Проверка единиц аналогична выполненной в примере 1.

Произведем вычисления:

Пример 5. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I =80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равно­удаленной от всех точек кольца на расстояние г=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа:

где dB —магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока I dl в точке, определяемой радиусом-вектором г.

Выделим на кольце элемент d I и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 21.7). Вектор d B направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции В в точке А определяется интегралом

Рис. 21.7

где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор d B на две составляющие: dB_┴ – перпендикулярную плоскости кольца и d B _║ — параллельную плоскости кольца, т. е.

d B= d B_^+ d B _½½. Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы d B_┴ от различных элементов d I сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

где (поскольку d I перпендикулярен r и, следовательно, sina=1). Таким образом,

После сокращения на 2π и замены cos β на R/r (рис. 21.7) получим Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:

или

Вектор В направлен на осикольца (пунктирная стрелка на рис.21.7) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6. бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 21.8. Радиус дуги окружности R =10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I =80 A, текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В=∑В_i. В на­шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 21.9) два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

B = B ₁+ B ₂+ B ₃

где B ₁, В ₂ и В ₃ — магнитные индукции поля в точке О, создавае­мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В ₁=0 и тогда

B=B₂+B₃

Учитывая, что векторы В ₂ и В ₃ направлены в соответствии с пра­вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео­метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В=В₂+В₃.

Магнитную индукцию поля В ₂ можно найти, используя выраже­ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то­ком I:

Так как магнитная индукция В ₂ создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

Магнитную индукцию В ₃ найдем, используя формулу (3) при­мера 3:

В нашем случае

Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃ получим

или

Произведем вычисления:

Задачи

Связь между напряженностью и индукцией

магнитного поля в вакууме

21.1. Напряженность Н магнитного поля равна 79,6 кА/м. Определить магнитную индукцию В ₀ этого поля в вакууме.

21.2. Магнитная индукция В поля в вакууме равна 10 мТл. Найти напряженность Н магнитного поля.

21.3. Вычислить напряженность Н магнитного поля, если его индукция в вакууме В₀=0,05 Тл.

Поле кругового тока и соленоида

21.4. Найти магнитную индукцию в центре тонкого кольца, которому идет ток I =10 А. Радиус r кольца равен 5 см.

21.5. По обмотке очень короткой катушки радиусом r=16 см течет ток I =5 А. Сколько витков N проволоки намотано на катушку, если напряженность H магнитного поля в ее центре равна 800 А/м?

21.6. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка радиусом r=8 см равна 30 А/м. Определить напряженность H ₁.

21.7. При какой силе тока I, текущего по тонкому проводящему кольцу радиусом R= 0,2 м, магнитная индукция В в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г=0,3 м, станет равной 20 мкТл?

21.8. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см течет ток. Чему равна сила тока I, если магнитная индукция В поля в точке А (рис. 21.10) равна 1 мкТл? Угол β=10°.

21.9. Катушка длиной l =20 см содержит N= 100 витков. По обмотке катушки идет ток 1 =5 А. Диаметр d катушки равен 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии а =10 см от ее конца.

21.10. Длинный прямой соленоид из проволоки диаметром d =0,5 мм намотан так, что витки плотно прилегают друг к другу.

Какова напряженность Н магнитного поля внутри соленоида при силе тока I =4 А? Толщиной изоляции пренебречь.

21.11. Обмотка катушки диаметром d =10 см состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить минимальную длину l _min катушки, при которой магнитная индукция в середине ее отличается от магнитной индукции бесконечного соле­ноида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, не более чем на 0,5 %. Сила тока, протекающего по обмотке, в обо­их случаях одинакова.

21.12. Обмотка соленоида выполнена тонким проводом с плотно прилегающими друг к другу витками. Длина l катушки равна 1 м, ее диаметр d =2 см. По обмотке идет ток. Вычислить размеры участка на осевой линии, в пределах которого магнитная индукция может быть вычислена по фор­муле бесконечного соленоида с погреш­ностью, не превышающей 0,1 %.

21.13. Тонкая лента шириной l =40 см свернута в трубку радиусом R =30 см. По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток I =200 А (рис. 21.11). Опреде­лить магнитную индукцию В на оси трубки в двух точках: 1) в сред­ней точке; 2) в точке, совпадающей с концом трубки.

Поле прямого тока

21.14. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I =50 А. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на расстояние r=5 см от проводника.

21.15. Два длинных параллельных провода находятся на расстоя­нии r=5 см один от другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые токи I =10 А каждый. Найти напряжен­ность H магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r₁=2 см от одного и г₂=3 см от другого провода.

21.16. Расстояние d между двумя длинными параллельными про­водами равно 5 см. По проводам в одном направлении текут оди­наковые токи I =30 А каждый. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии г₁=4 см от одного и г₂=3 см от другого провода.

21.17. По двум бесконечно длинным прямым параллельным про­водам текут токи I =50 А и I ₂=100 А в противоположных направ­лениях. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на г₁=25 см от первого и на r₂=40 см от второго провода.

21.18. По двум бесконечно длинным прямым параллельным про­водам текут токи I ₁=20 А и I ₂=30 А в одном направлении. Расстоя­ние d между проводами равно 10 см. Вычислить магнитную индук­цию В в точке, удаленной от обоих проводов на одинаковое расстоя­ние г=10 см.

21.19. Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом (рис. 21.12). По проводам текут токи I ₁=80 А и I ₂=60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определит магнитную индукцию В в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников.

21.20. По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I ₁=30 А и I ₂=40 А. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке С (рис. 21.12), одинаково удаленной от обоих проводов на расстояние, равное d.

21.21. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводнику течет ток I =20 А. Какова магнитная индукция В в точке А (рис. 21.13), если г=5 см?

21.22. По бесконечно длинному пря­мому проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 21.14, течет ток I =100 А Определить магнитную индукцию В в точке О, если г=10см.

21.23. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводу течет ток I =100 А. Вычислить магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины угла на а =10 см.

21.24. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом α=120°, течет ток I =50 А. Найти магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины его на расстояние а=5 см.

21.25. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I =40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

21.26. По контуру в виде квадрата идет ток I =50 А. Длина а стороны квадрата равна 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

21.27. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течет ток I =60 А. Длины сторон прямоугольника равны а =30 см и b =40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

21.28. Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиуголь­ника. Длина d стороны шестиугольника равна 10 см. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника, если по проводу течет ток I =25А

21.29. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольни­ка с длиной а стороны, равной 20 см, течет ток I =100 А. Найти напряженность H магнитного поля в центре шестиугольника. Для сравнения определить напряженность H ₀ поля в центре кругового провода, совпадающего с окружностью, описанной около данного шестиугольника.

21.30. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

21.31. Бесконечно длинный тонкий проводник с током I =50 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить в точ­ке О магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в слу­чаях а—е, изображенных на рис. 21.15.

21.32. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток I =100 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током в точке О, в случаях а—е, изображенных на рис. 21.16. Радиус R изогнутой части контура равен 20 см.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: