Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Поле кругового тока и соленоида

ГЛАВА 5

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

 

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА .

 

Основные формулы

· Закон Био — Савара — Лапласа

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом i водника с током; m — магнитная проницаемость; m0 — магнитная постоянная (m0 =4p · 10 -7 Гн/м); dl — вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током ( элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

Модуль вектора dB выражается формулой

где a — угол между векторами dl и r.

· Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением

или в вакууме

· Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

где R — радиус кривизны проводника.

· Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

где r — расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводником

Обозначения ясны из рис. 21.1, а. Вектор индукции В перпенди­кулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой.

При симметричном расположении концов проводника относи­тельно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 21.1, б), и, следовательно,

· Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в сред­ней его части (или тороида на его оси),

где п — число витков, приходящих­ся на единицу длины соленоида; I — сила тока в одном витке.

· Принцип суперпозиции маг­нитных полей: магнитная индук­ция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций В1,В2, ..., Вn складываемых полей, т. е.

В частном случае наложения двух полей

а модуль магнитной продукции

где a — угол между векторами В1 и В2.

Примеры решения задач

Пример 1.Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I=60 А, расположены на

расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного про­водника на расстоянии г1=5 см и от другого — на расстоянии r2=12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точ­ке А (рис. 21.2) определим направле­ния векторов индукций В1 и В2 по лей, создаваемых каждым проводни­ком в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B=B1+B2.Модуль индукции найдем по теоре­ме косинусов:

Значения индукций Bi и В2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от провода до точки, индукцию

в которой мы вычисляем: Подставляя B1 и В2 в формулу (1) и вынося за знак корня, получим

(2)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для маг­нитной индукции (В=Мmакп). Откуда следует, что

Вычисляем cosa. Заметим, что a=/_DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем , где d — расстояние между проводами. Отсюда

Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos a = 0,576.

Подставив в формулу (2) значения m0, I, r1, r2 и cos b, найдем В=286 мкТл.

Пример 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находя­щимся на расстоянии r=5 см друг от друга в воздухе, текут токи I=10 А каждый. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого то­ками в точке, лежащей по­середине между проводами, для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 21.3, а); 2) провода парал­лельны, токи текут в про­тивоположных направле­ниях (рис. 21.3, б); 3) про­вода перпендикулярны, на­правление токов указано на рис. 21.3, в.

Решение: Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: B=B1+B2, где B1 — индукция поля, создаваемого током 11; В2 — индукция поля создаваемого током I2.

Если B1 и В2 направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В=В12. (1)

При этом слагаемые В1 и В2 должны быть взяты с соответствую­щими знаками. В данной задаче во всех трех случаях модули индукций В1 и В2 одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от про­водов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле

B=m0I/(2pr). (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В1 и В2:

В12=80 мкТл.

1-й случай. Векторы B1 и В2 направлены по одной прямой (рис. 21.3, а); следовательно, результирующая индукция В опреде­ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз — отрицательным, запишем: В1=—80 мкТл, В2=80 мкТл.

Подставив в формулу (1) эти значения В1 и B2, получим

В=В12=0.

2-й случай. Векторы В1 и В2 направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 21.3, б). Поэтому можем за­писать

В12=—80 мкТл.

Подставив в формулу (1) значения B1 и В2 получим

В=В12=—160 мкТл.

3-й случай. Векторы индукций магнит­ных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 21.3, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадра­та, построенного на векторах В1 и В2. По теореме Пифагора найдем

(3)

Подставив в формулу (3) значения В1 и В2 и вычислив, получим Рис. 21.4 B =113 мкТл.

Пример 3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемо­го отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равно­удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r0=20 см от середины его (рис. 21.4). Сила тока I, текущего по про­воду, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, соз­даваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био — Савара—

— Лапласа:

(1)

 

Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину элемента dl проводника через da. Согласно рис. 21.4, запишем

 

Подставим это выражение dl в формулу (1): Рис. 21.4

 

Но r — величина переменная, зависящая от a и равная Подставив r в предыдущую формулу, найдем

(2)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого от­резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от a1 до a2:

Заметим, что при симметричном расположении точки A относитель­но отрезка провода cos a2= – cos a1. С учетом этого формула (3) примет вид

Из рис. 21.4 следует

Подставив выражение cos a1 в формулу (4), получим

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вы­числения:

Пример 4. Длинный провод с током I=50 А изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 21.5). Расстояние d=5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответ­ствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная ин­дукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций B1 и В2полей, создаваемых отрезками длинных проводов

1 и 2,т. е.В = В12. Магнитная индукция В2равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, dВ=0([dlr]=0).

Магнитную индукцию В1 найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3:

где г0 кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рис.21.6)

В нашем случае α1→0 (проводник длинный), α2=α= =2π/3 (cos α2=cos (2π/3))=–½. Расстояние г0=d sin (π−α)= d sin(π/3)= . Тогда магнитная индукция

Так как В=В1(В2=0), то

Вектор В сонаправлен с вектором В1 и определяется правилом правого винта. На рис. 21.6 это направление отмечено значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).

 

.

Проверка единиц аналогична выполненной в примере 1.

Произведем вычисления:

Пример 5.По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I=80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равно­удаленной от всех точек кольца на расстояние г=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа:

где dB —магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиусом-вектором г.

Выделим на кольце элемент dI и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 21.7). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции Вв точке А определяется интегралом

Рис. 21.7

где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор dBна две составляющие: dB – перпендикулярную плоскости кольца и dB — параллельную плоскости кольца, т. е.

dB=dB^+dB½½. Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dBот различных элементов dI сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

где ( поскольку dIперпендикулярен rи, следовательно, sina=1). Таким образом,

После сокращения на 2π и замены cos β на R/r (рис. 21.7) получим Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:

или

Вектор Внаправлен на осикольца (пунктирная стрелка на рис.21.7) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6.бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 21.8. Радиус дуги окружности R=10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I=80 A, текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В=∑Вi. В на­шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 21.9) два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

B=B1+B2+B3

где B1, В2 и В3 — магнитные индукции поля в точке О, создавае­мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

 

Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В1=0 и тогда

B=B2+B3

Учитывая, что векторы В2 и В3 направлены в соответствии с пра­вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео­метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В=В23.

Магнитную индукцию поля В2 можно найти, используя выраже­ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то­ком I:

Так как магнитная индукция В2 создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

Магнитную индукцию В3 найдем, используя формулу (3) при­мера 3:

В нашем случае

Тогда

 

Используя найденные выражения для В2 и В3 получим

или

Произведем вычисления:

Задачи

Связь между напряженностью и индукцией

магнитного поля в вакууме

21.1.Напряженность Н магнитного поля равна 79,6 кА/м. Определить магнитную индукцию В0 этого поля в вакууме.

21.2.Магнитная индукция В поля в вакууме равна 10 мТл. Найти напряженность Н магнитного поля.

21.3.Вычислить напряженность Н магнитного поля, если его индукция в вакууме В0=0,05 Тл.

Поле кругового тока и соленоида

21.4.Найти магнитную индукцию в центре тонкого кольца, которому идет ток I=10 А. Радиус r кольца равен 5 см.

21.5.По обмотке очень короткой катушки радиусом r=16 см течет ток I=5 А. Сколько витков N проволоки намотано на катушку, если напряженность H магнитного поля в ее центре равна 800 А/м?

21.6.Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка радиусом r=8 см равна 30 А/м. Определить напряженность H1.

21.7.При какой силе тока I, текущего по тонкому проводящему кольцу радиусом R=0,2 м, магнитная индукция В в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г=0,3 м, станет равной 20 мкТл?

21.8.По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см течет ток. Чему равна сила тока I, если магнитная индукция В поля в точке А (рис. 21.10) равна 1 мкТл? Угол β=10°.

21.9.Катушка длиной l=20 см содержит N=100 витков. По обмотке катушки идет ток 1=5 А. Диаметр d катушки равен 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии а=10 см от ее конца.

21.10.Длинный прямой соленоид из проволоки диаметром d=0,5 мм намотан так, что витки плотно прилегают друг к другу.

Какова напряженность Н магнитного поля внутри соленоида при силе тока I=4 А? Толщиной изоляции пренебречь.

21.11.Обмотка катушки диаметром d=10 см состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить минимальную длину lmin катушки, при которой магнитная индукция в середине ее отличается от магнитной индукции бесконечного соле­ноида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, не более чем на 0,5 %. Сила тока, протекающего по обмотке, в обо­их случаях одинакова.

21.12.Обмотка соленоида выполнена тонким проводом с плотно прилегающими друг к другу витками. Длина l катушки равна 1 м, ее диаметр d=2 см. По обмотке идет ток. Вычислить размеры участка на осевой линии, в пределах которого магнитная индукция может быть вычислена по фор­муле бесконечного соленоида с погреш­ностью, не превышающей 0,1 %.

21.13.Тонкая лента шириной l=40 см свернута в трубку радиусом R=30 см. По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток I=200 А (рис. 21.11). Опреде­лить магнитную индукцию В на оси трубки в двух точках: 1) в сред­ней точке; 2) в точке, совпадающей с концом трубки.

 

Поле прямого тока

21.14.По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I=50 А. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на расстояние r=5 см от проводника.

21.15.Два длинных параллельных провода находятся на расстоя­нии r=5 см один от другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые токи I=10 А каждый. Найти напряжен­ность H магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r1=2 см от одного и г2=3 см от другого провода.

21.16.Расстояние d между двумя длинными параллельными про­водами равно 5 см. По проводам в одном направлении текут оди­наковые токи I=30 А каждый. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии г1=4 см от одного и г2=3 см от другого провода.

21.17.По двум бесконечно длинным прямым параллельным про­водам текут токи I=50 А и I2=100 А в противоположных направ­лениях. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на г1=25 см от первого и на r2=40 см от второго провода.

21.18.По двум бесконечно длинным прямым параллельным про­водам текут токи I1=20 А и I2=30 А в одном направлении. Расстоя­ние d между проводами равно 10 см. Вычислить магнитную индук­цию В в точке, удаленной от обоих проводов на одинаковое расстоя­ние г=10 см.

21.19.Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом (рис. 21.12). По проводам текут токи I1=80 А и I2=60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определит магнитную индукцию В в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников.

 

21.20.По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I1=30 А и I2=40 А. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке С (рис. 21.12), одинаково удаленной от обоих проводов на расстояние, равное d.

21.21.Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводнику течет ток I=20 А. Какова магнитная индукция В в точке А (рис. 21.13), если г=5 см?

21.22.По бесконечно длинному пря­мому проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 21.14, течет ток I=100 А Определить магнитную индукцию В в точке О, если г=10см.

21.23.Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводу течет ток I=100 А. Вычислить магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины угла на а=10 см.

21.24.По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом α=120°, течет ток I=50 А. Найти магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины его на расстояние а=5 см.

21.25.По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I=40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

21.26.По контуру в виде квадрата идет ток I=50 А. Длина а стороны квадрата равна 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

21.27.По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течет ток I=60 А. Длины сторон прямоугольника равны а=30 см и b=40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

21.28.Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиуголь­ника. Длина d стороны шестиугольника равна 10 см. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника, если по проводу течет ток I=25А

21.29.По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольни­ка с длиной а стороны, равной 20 см, течет ток I=100 А. Найти напряженность H магнитного поля в центре шестиугольника. Для сравнения определить напряженность H0 поля в центре кругового провода, совпадающего с окружностью, описанной около данного шестиугольника.

21.30.По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

21.31.Бесконечно длинный тонкий проводник с током I=50 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить в точ­ке О магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в слу­чаях а—е, изображенных на рис. 21.15.

21.32.По плоскому контуру из тонкого провода течет ток I=100 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током в точке О, в случаях а—е, изображенных на рис. 21.16. Радиус R изогнутой части контура равен 20 см.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Кафедра гражданского и трудового права приглашает принять участие в межвузовской олимпиаде по гражданскому процессу | Я сделаю её,(1) может быть,(2) за несколько дней,(3) но такие вещи не дарят детям. Я делаю подарки для взрослых,(4) а ты ещё маленькая и многого не понимаешь.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных