Поняття алгебраїчної структури

Алгебраїчною структурою називається множина разом із заданими операціями, визначеними і замкненими на цій множині. Ця множина називається носієм алгебраїчної структури.

Приклад. Алгебраїчна структура з операцією додавання на множині N, позначається як (N, +).

Приклад. Множина Z₇={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} разом із звичайною операцією додавання (+) не буде алгебраїчною структурою, оскільки результат операції може не належати множині Z₇. Але (Z₇, ⊕₇) буде алгебраїчною структурою, оскільки область значень операції ⊕₇ лежать у Z₇.

Структура S¢ - (A¢, Å ¢) є підструктурою алгебраїчної структури S - (A, Å), якщо: A¢ÌА;

Å і Å ¢ операції одного порядку і звуження операції Å на підмножині A¢ співпадає з Å ¢ (наприклад, для бінарних операцій a Å b = a Å ¢ b для всіх a, bÎ A¢).

Очевидно, що найбільшою підструктурою структури S є сама структура S. У деяких випадках інших підструктурах бути не може.

Приклад. Нехай Е – множина парних натуральних чисел, тоді (Е, +) буде підструктурою структури (N, +). Структура ({0, 1}, *) є підструктурою (Z, *).

Відношення між алгебраїчними структурами можуть бути такі, що не тільки включають підструктуру в структуру. Можливі і інші відношення, що дозволяють здійснювати перехід від структури до структури, з втратою деякої інформації або без втрати інформації.

Нехай задані дві структури (А, ⊗) і (С, Å) з операціями ⊗ і Å одного порядку n. Відображення А ®С називається гомоморфізмом із структури (А, ⊗) у структуру (С, Å), якщо воно представлене з операціями у такому розумінні:

де відображення діє за правилом

Для бінарних операцій для будь-яких х, у ÎА.

Графічне визначення гомоморфізму для випадку бінарних операцій приведене на малюнку.

Якщо спростити наведену ілюстрацію, то одержимо комутативну діаграму, яка пов’язує окремі елементи множин.

Зв’язок між окремими елементами множин при гомоморфізмі j на малюнку.

Часто такі діаграми зображують у більш спрощеному вигляді.

Подібні діаграми часто використовуються для зображення зв’язків між структурами, вони називаються комутативними, оскільки показують можливість переходу до результату різними способами.

Приклад. Нехай задано відображення q: Z₊®Z₁₀, що переводить ціле невід’ємне число у решту від ділення числа на 10. Тоді q(20) = 0, q(17) = 7, q(54) = 4. Якщо (Z₊, +) і (Z₁₀, ⊕₁₀) з операцією звичайного додавання, що визначена на Z₊, і додаванням за модулем 10 на Z₁₀, то q є гомоморфізмом з першої структури в другу. Наприклад,

q(24 + 38) = q(62) = 2; q(24) ⊕₁₀ q (38) = 4 ⊕₁₀ 8 = 2.

Одержання одного результату двома різними способами можна проілюструвати комутативною діаграмою.

В загальному випадку для гомоморфізму q: (Z₊, +) ® (Z₁₀, ⊕₁₀) комутативна діаграма буде виглядати як приведено на малюнку.

Гомоморфізм, який є бієкцією, називається ізоморфізмом. Якщо існує ізоморфізм між двома структурами, то говорять, що вони ізоморфні одна одній.

Таким чином, для будь-якого ізоморфізму j існує обернене відображення j^-1, також взаємно однозначне. Якщо існує ізоморфізм структури S у структуру Q, то існує і ізоморфізм Q у S.

Відношення ізоморфізму – це відношення еквівалентності на алгебраїчних структурах, тому ізоморфізм розбиває множину всіх алгебраїчних структур на класи еквівалентності. Використовуючи ізоморфізм можна здійснювати еквівалентні перетворення алгебраїчних структур.

Приклад. Розглянемо спосіб вимірювання довжини в дюймах та сантиметрах. Якщо додати бінарну операцію додавання, то одержимо дві структури: (inch, +), (см, +). Визначимо ізоморфізм g: х (см)=2,54*х (inch).

Нехай маємо відрізок d, який розрізано на 2 відрізки a і b, довжини яких визначені в дюймах. Наприклад, a = 10’’, b = 15’’. Знайти довжину відрізка d в сантиметрах можна двома способами:

d = 10’’+15’’; 25’’*2,54 = 63,5см.

d = 10’’*2,54 + 15’’*2,54 = 25,4см + 38,1см = 63,5см.

Тобто коммутативна діаграма для розглянутого прикладу виглядає, як показано для малюнку.

Приклад. Нехай Z – множина цілих чисел, множина Z_2n – множина всіх парних чисел. Алгебри (Z; +) і (Z_2n; +) – ізоморфні. Ізоморфізмом є відображення j: n ® 2n.

Приклад. Ізоморфізмом міх алгебраїчними структурами (R₊; *), (R; +) є відображення a ® log a. Умова гомоморфізму j(x Ä y) = j(x) Å j(y) у цьому випадку має вигляд log(a*b) = log(a) + log(b).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: