Нелинейное программирование в математическом программировании

Новые возможности пакетов программирования

Нелинейное программирование является частью математического программирования, в котором нелинейная функция представлена определенными ограничениями или целевой функцией. Основной задачей нелинейного программирования является нахождение оптимального значения заданной целевой функции с определенным количеством параметров и ограничений.

Задачи нелинейного программирования отличаются от задач линейного содержанием оптимального результата не только в пределах области, имеющей определенные ограничения, но и за ее пределами. К таким типам задач относятся те задания математического программирования, которые могут быть представлены как равенствами, так и неравенствами.

Классифицируется нелинейное программирование в зависимости от разновидности функции F(x), функции ограничений и размерности вектора решений x. (3d?)Так, название задачи зависит от количества переменных. При использовании одной переменной нелинейное программирование может быть выполнено с помощью безусловной однопараметрической оптимизации. При числе переменных свыше одной можно использовать безусловную многопараметрическую оптимизацию.

Для решения задач линейности используют стандартные методы линейного программирования (например, симплекс-метод). А вот при нелинейном общего способа решения не существует, выбирается в каждом отдельном случае свое и оно также зависит от функции F(x).

Нелинейное программирование встречается в обыденной жизни довольно часто. Например, это непропорциональный рост затрат количеству произведенных или закупленных товаров.

Непропорциональный рост энергозатрат с ростом мощности двигателей при разрушении?

Иногда для нахождения оптимального решения в задачах нелинейного программирования стараются выполнить приближение к линейным задачам. Примером могут служить квадратичное программирование, в котором функция F(x) представлена полиномом второй степени по отношению к переменным, при этом соблюдается линейность ограничений. Вторым примером служит использование метода штрафных функций, применение которых при наличии определенных ограничений сводит задание поиска экстремума к аналогичной процедуре без таковых ограничений, решаемой значительно проще.

Однако если анализировать в целом, то нелинейное программированиепредставляет собой решение задач повышенной вычислительной трудности. Очень часто во время их решения приходится использовать приближенные методы оптимизации. Еще одно мощное средство, которое может быть предложено для решения такого типа задач – численные методы, позволяющие найти верное решение с заданной точностью.

Как уже было сказано выше, нелинейное программирование требует индивидуального особого подхода, который должен учитывать его специфику.

Существуют следующие методы нелинейного программирования:

- градиентные методы, основанные на свойстве функционального градиента в точке. Другими словами, это вектор частных производных, вычисленный в точке, принятой в качестве указателя направления наибольшего увеличения функции в окрестностях этой точки.

- метод Монте-Карло, при котором определяется параллелепипед n-ой размерности, включающий в себя множество планов, для последующего моделирования случайных N-точек с равномерным распределением в данном параллелепипеде.

- метод динамического программирования сводится к многомерной задаче оптимизации заданий к меньшей размерности.

- метод выпуклого программирования реализуется в поиске минимального значения выпуклой функции или максимального значения вогнутой на выпуклой части множества планов. В случае, когда множество планов представляет собой выпуклый многогранник, тогда может быть применен симплексный метод.

из сапр

Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений применяют итерационные методы. Главными показателями эффективности этих методов являются вероятность и скорость сходимости итераций к корню системы.

Наибольшей скоростью сходимости среди применяемых в САПР методов обладает метод Ньютона, основанный на линеаризации исходной системы уравнений и вычислении нового приближения к корню путем решения линеаризованной системы. Однако метод Ньютона имеет ограниченную область сходимости – итерации сходятся, если начальное приближение было выбрано в достаточно малой окрестности корня. Но заранее неизвестны ни положение корня, ни размеры области сходимости.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) в различных процедурах автоматизированного проектирования в основном используется метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных исходной системы.

Численное интегрирование систем ОДУ возможно как явными, так и неявными методами. Большинство методов интегрирования являются ограниченно устойчивыми. Это означает, что на величину шага интегрирования накладываются ограничения, несоблюдение которых ведет к резкому искажению числовых результатов.

Явные методы наиболее легко реализуются, приводят к сравнительно небольшому объему вычислений на одном шаге интегрирования. Однако для соблюдения условий устойчивости приходится уменьшать шаг настолько, что это приводит к большим затратам машинного времени. Поэтому они (метод Рунге-Кутта, например) в САПР находят ограниченное применение.

Основными методами численного интегрирования систем ОДУ в САПР стали неявные методы. Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость вычислений при любом шаге h > 0. Это неявные методы первого и второго порядков точности.

Деформация нагрузка линейная функция

Задача о взаимодействии инструмента с породой в общем относится к нелинейной всвязи с нелинейной зависимостью деформаций от нагрузки с образованием пластического ядра, см. рис.

Нелинейная задача о внедрении инструмента в породу

Такая контактная задача является существенно нелинейной и приводит к использованию больших рессурсов компьютера. Часто приходиться учитывать трение между контактной парой, имет значение и теплообмен. Для явного динамического контакта используется пакет Ansys – duna

Задачи делятся на: жестко – податливый и Податливый – податливый (например, зажатые болтами фланцы)

Для нашей деформациями инструмента, поскольку его модуль упругости на порядки превышает модуль для породы можно принять первый тип. Исходя из возможностей пакета для 3d задач получим тип элементов CONTA 173, 174 cвозможностью учета большого проскальзывания, обеспечивается и расчет для криволинейных поверхностей контактирования которыми являются поверхности конусного инструмента

При этом очевидно, что имеется возможность полуавтоматического построения сетки и возможен учет теплового контакта

Податливо-податливые контакт элементы используют целевую поверхность – targetи контактную поверхность - contact они подходят для рассмотрения посадочных и начальных контактов, ковки, глубокого прессования, волочения.

Возможно рассмотрение савязанного контакта – грубое взаимодействие и линейно меняющееся начальное проникновение – rampinginitial penetration

Автоматическое начальное размещение целевой поверхности таким образом, что бы оно находилось в контакте.

Смещение контактной поверхности чтобы принять в расчет толщину балочного или оболочечного элемента и определяемое пользователем контактное смещение

Поддержка опции «смерть и рождение»

Поддержка совместного термопрочностного анализа.

Для моделиррования необходим контактный мастер – ContactWizard

Preprozessor-Create-ContactPair – ContactWizard, он становиться доступным, если вмодели целевая и контактная поверхность разбита сеткой

В задаче жестко-податливого контакта целевая – жесткая, контактная – податливая поверхность

В противном случае две поверности составляют контактную пару

Целевые и контактные поверхности связываются друг с другом через набор реальных постоянных, даже если они не совпадают. Допускается неограниченное количество поверхностей

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: