Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости при установившемся движении жидкости.

При движении реальной жидкости, как уже отмечалось, часть механической энергии потока расходуется на преодоление сопротивлений, возникающих в жидкости вследствие ее вязкости. Потери энергии могут быть настолько велики, что пренебрегать ими практически недопустимо. Поэтому в уравнение Бернулли надо ввести поправку

Рассмотрим струйку реальной жидкости (рис. 3.1). Для сечения I—I запас энергии будет

(3.1)

Рис. 3.1. К выводу уравнения Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

а для сечения II—II (вниз по течению)

(3.2)

Так часть энергии по пути е израсходуется, то, следовательно

(3.3)

где h_1-2 — потерянная энергия или потерянный напор при движении жидкости от сечения I—I до сечения II.

Можно сказать, что потери напора h_1-2 есть мера по энергии, теряемой жидкостью при перемещении ее вдоль данной элементарной струйки от живого сечения I—I до живого сечения II—II.

Подставив в (3.3) вместо е₁ и е₂ их значения, получим:

(3.4)

Это и будет уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. Вполне очевидно, что

(3.5)

где Н₁ — полный напор в сечении I—I; Н₂ — полный напор в сечении II—II, расположенном ниже по течению.

Распределение давления в живых сечениях потока при установившемся плавно изменяющемся движении

Рассмотрим случай установившегося движения, когда объемами силами, действующими на жидкость, являются силы тяжести.

На рис. 3.2 показан, плавно изменяющийся поток. К различным точкам I—I и II—II сечении присоединены пьезометры. Как показывает опыт, в случае указанного движения горизонт воды во всех пьезометрах, присоединенных к разным точкам одного и того же сечения (например, сечение I—I) устанавливается на одном и том же уровне. Для различных точек данного живого сечения величины z и имеют разное значение, однако сумма их постоянна:

(3.6)

Рис. 3.2. Давление в живых сечениях плавно изменяющегося потока

если движение жидкости плавно изменяющееся или параллельно-струйное

В другом живом сечении (например, в сечении /II—/II) сумма будет иная, но постоянная для всех точек этого сечения.

Таким образом, при плавно изменяющемся и параллельна струйном движениях жидкости распределение давления в плоском живом сечении потока подчиняется гидростатическому закону.

В потоках с неодинаковой кривизной линий тока т. е. в по токах, неплавно (резко) изменяющихся, давления распределяются не по гидростатическому закону

Нарушение гидростатического закона в таких случаях вызвано тем, что частица движется уже не прямолинейно и на распределение давления по живому сечению будет оказывать влияние ускорения, возникающие в криволинейном движении. в частности, центростремительное ускорение. При искривлении линий токов выпуклостью вверх (рис. 3.3, б) давление становится меньшим по сравнению с гидростатическим (рис. 3.3, а) в силу того, что направление центростремительного ускорения совпадает с направлением силы тяжести и, наоборот, давление станет большим при искривлении линий токов выпуклостей вниз (рис. 3.3, в), так как в этом случае направление центростремительного ускорения противоположно направлению силы тяжести.

Рис. 3.3. Центростремительное ускорение при резко изменяющемся движении: а — линии тока в плавно изменяющемся потоке; б — при искривлении линий тока выпуклостью вверх; в — при искривлении линий тока выпуклостью вниз

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости при установившемся движении

Рассмотрим поток жидкости при медленно изменяющемся и установившемся его движении. Поток жидкости может быть представлен как сумма бесконечно большого числа элементарных струек. Тогда, очевидно, энергия его будет равна сумме энергий этих струек.

Энергия элементарной струйки жидкости с площадью живого сечения dω в единицу времени равна:

тогда суммарная энергия, которой располагает жидкость, проходя через данное живое сечение потока в единицу времени запишется таким образом:

Удельная энергия потока, отнесенная к единице массы жидкости, будет равна:

(3.7)

Поскольку при параллельно-струйном и плавно изменяющемся движении в любом живом сечении потока

, а

выражение (3.7) можем записать так:

Умножив и разделив последний член (3.8) на V², получим:

(3.9)

(3.10)

Таким образом, полная удельная энергия реальной жидкости r сечении I—I потока будет равна:

в сечении II—II

Вполне очевидно, что Е₁>Е₂ на величину потерянной энергии при движении реальной жидкости между сечениями, т. е. Е₁ — E₂ = h_1-2

Тогда уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет иметь вид:

(3.11)

В уравнении Бернулли (3.11) α — коэффициент кинетической энергии (коэффициент Кориолиса), показывающий, во сколько раз действительная кинетическая энергия больше кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Величина коэффициента α зависит от степени неравномерности распределения скоростей по живому сечению, потока и для разных эпюр скоростей имеет разные значения, оставаясь всегда больше единицы.

По данным Н. Н. Павловского, коэффициент кинетической энергии α в турбулентных потоках может быть принят изменяющимся в пределах 1,05- 1,10. Для ламинарного режима значения коэффициента а значительно больше, в частности, при течении жидкости в круглоцилиндрическом трубопроводе α = 2.

Полученное уравнение (3.11) от аналогичного уравнения (2 19) Для элементарной струйки идеальной жидкости отличается членом, представляющим собой потерю удельной энергии (напора) и коэффициентом, учитывающим неравномерность распределения скоростей. Кроме того, скорости, входящие в это уравнение, являются средними по сечениям. В расчетах напорных трубопроводов обычно принимают α₁=α₂=1

Все члены, входящие в уравнение Бернулли, имеют линейную размерность.

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли устанавливает зависимость между удельной энергией положения z, пьезометрического и скоростного напоров, при движении реальной жидкости от сечения

к сечению уменьшается на величину потерь напора (рис. 3.14).

Уравнение Бернулли графически может быть представлено диаграммой, как и для идеальной жидкости, но с учетом величины потерь напора (рис. 3.4). Очевидно, что для потока (а в равной мере и для струйки) реальной жидкости напорная линия всегда наклонна — понижается по течению. Отрезки, заключенные между напорными линиями для идеальной жидкости (линия начального напора) и для реальной, характеризуют величину потерь энергии.

Потери энергии жидкости, приходящиеся на единицу длины пути, называют гидравлическим уклоном. Различают средний гидравлический уклон и гидравлический уклон в данном сечении.

Рис. 3.4. Иллюстрация уравнения Бернулли для потока реальной жижкости

Средний гидравлический уклон между сечениями I—I и II—II равен:

(3.12)

Гидравлический уклон — величина безразмерная.

Действительный же уклон в каждом сечении будет величиной переменной. Чтобы определить действительный уклон на данном сечении, надо воспользоваться записью в дифференциальной форме

Но так как полный запас энергии Е убывает вниз по течению (тогда как потерянный напор h возрастает), то и следовательно, гидравлический уклон можно определить так:

(3.13)

Гидравлический уклон всегда положительный (i>0), так как гари dl>O всегда dh>0, a dЕ<0. Увеличение удельной энергии Е возможно лишь тогда, когда в данный поток извне будет поступать дополнительная энергия (например, если на данной водоводе установлен насос, приводимый в движение тем или иным двигателем).

Аналогично можно ввести понятие и об уклоне пьезометрическом. Средний пьезометрический уклон тогда определится по формуле

Если , то средний пьезометрический уклон будет положительным. Но может быть меньше

В таком случае пьезометрический уклон будет отрицательным (что возможно при расширении потока, например, в диффузоре). Не исключено также, что пьезометрический уклон может оказаться равным нулю.

Действительный пьезометрический уклон в данном сечении, подобно гидравлическому уклону, определяется по формуле

Величины Z₁ и Z₂ представляют собой превышение над плоскостью сравнения О—О точек соответствующих живых сечений; величины — пьезометрические высоты для этих точек.

Уравнение Бернулли (3.11) может применяться лри следующих условиях.

Первое условие. Движение жидкости должно быть установившимся, поскольку при выводе уравнения считали, что кинетическая энергия жидкости, заключенная в объеме между сечениями I—I и II—II, не изменяется во времени.

Второе условие. Движение жидкости в сечениях I—I и II—II, соединяемых уравнением Бернулли, должно быть параллельно струйным или плавно изменяющимся: в промежутке же между сечениями I—I и II—II движение жидкости может быть и резко изменяющимся.

Если бы в сечениях I—I и II—II движение было резко изменяющимся (расчетные живые сечения I—I и II—II были бы криволинейны), то для этих сечений несправедливо было бы условие

Такое положение не позволило бы нам получить выражение для полной удельной энергии потока и, следовательно, написать уравнение Бернулли (3.11).

Что касается промежутка между сечениями I—I и II—II, то обстоятельства движения по длине промежутка непосредственно учитываются в уравнении Бернулли только членом h_1-2.

Разработал

Доцент кафедры

Подполковник вн.сл. Подмарков В.В.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: