Свойства действий (операций). Пусть в множестве А определено действие, обозначаемое «∘».

Пусть в множестве А определено действие, обозначаемое «∘».

Действие называется неограниченно-применимым, если результат действия х ○ у определен для любой пары элементов х, у Î А, т.е. х ○ у Î А.

Действие называется коммутативным, если для любой пары элементов х, у Î А, для которых определен результат z = х ○ у Î А, обязательно определен и результат z ¢= у ○ х Î А, и при этом z = z ¢ (т.е. х ○ у = у ○ х).

Действие называется ассоциативным, если для любой тройки элементов х, у, z Î А, для которой определены результаты (х ○ у) и ((х ○ у)○ z), обязательно определены и результаты (у ○ z) и (х ○(у ○ z)), и наоборот. Причем выполняется равенство ((х ○ у)○ z)= (х ○(у ○ z)).

Действие называется обратимым, если для любой пары элементов х, у Î А всегда существуют такие u, v Î А, что определены результаты (х ○ u) и (v ○ х) и выполняются равенства (х ○ u)= y (обратимо справа) и (v ○ х)= y (обратимо слева).

Действие называется сократимым справа, если для любой тройки элементов х, у, z Î А, для которой определены результаты (х ○ z) и (у ○ z), равенство (х ○ z)=(у ○ z) выполняется тогда и только тогда, когда x = y. Аналогично, действие называется сократимым слева, если для любой тройки элементов х, у, z Î А, для которой определены результаты (z ○ x) и (z ○ y), равенство (z ○ x)=(z ○ y) выполняется тогда и только тогда, когда x = y. Если действие сократимо как справа, так и слева, то оно называется сократимым.

Элемент е _пÎ А называется нейтральным справа относительно данного действия, если для любого х Î А результат (x ○ е _п) определен и равен х. Аналогично, элемент е _лÎ А называется нейтральным слева относительно данного действия, если для любого х Î А результат (е _л○ x) определен и равен х. Элемент е Î А называется нейтральным относительно данного действия, если он является нейтральным как справа, так и слева одновременно, т.е. (е ○ x)=(x ○ е)= х для любого х Î А. При мультипликативной записи нейтральный элемент называется единицей и обозначается «1», при аддитивной записи – нулем и обозначается «0».

Элемент x ¢Î А называется обратным к элементу х Î А, если определены результаты (х ○ х ¢)и (х ¢○ х) и имеет место равенство (х ○ х ¢)= е (обратный справа) и (х ¢○ х)= е (обратный слева), где е – нейтральный элемент. Из этого определения следует, что (х ¢)¢= х. При мультипликативной записи обратный элемент обозначается «х ^-1», а при аддитивной – «– х».

Элемент x Î А называется идемпотентным, если результат (х ○ x) определен и равен х.

Заметим, что относительно данного действия в множестве может существовать лишь один нейтральный элемент.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: