ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Диффузия как случайное блуждание
Закон Фика говорит лишь о приросте числа частиц (или массы), который происходит при рассматриваемом процессе переноса — диффузии. Часто, однако, важно знать и расстояние (конечно, среднее), на которое проникнут молекулы одного вещества в другое за какое-то время t. В силу беспорядочности движения молекула продвигается в нужном (выделенном) направлении лишь случайно, поэтому такое движение называется случайным блужданием. Рассмотрим случайное блуждание вдоль прямой (рис. 4.3). Это такое движение, при котором молекула может двигаться только вправо или влево, а конкретное направление выбирается случайно, например, подбрасывание монеты: выпадает орел — идет вправо, решка — влево. Рис. 4.3. Случайное блуждание на прямой Ясно, что при «одном движении» молекула продвигается (в среднем) на расстояние, равное длине свободного пробега. Так как вероятность, что молекула сдвинется вправо (на + l) такая же, как и вероятность движения влево (на – l), то при большом числе N таких движений (4.15) Каждой «положительной» xi = l найдется своя отрицательная xk = – l. Отсюда следует, что среднее смещение (алгебраическая сумма) равно нулю: (4.16) Точно такая же ситуация была и со средней скоростью хаотического движения, которая рассматривалась при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории. Займемся теперь вычислением средних квадратов смещений. Очевидно, что (4.17) Для следующего шага х 2 = х 1 ± l имеем в среднем (4.18) Использовались, во-первых, предыдущая формула, а во-вторых, что среднее значение, как только что было установлено (см. формулу (4.16)), равно нулю. Так можно делать и дальше для третьего, четвертого и т. д. шагов: (4.19) (4.20) Возникает естественный результат, а именно средний квадрат смещения равен (4.21) где N — число шагов. Эта формула подобна формуле для внутренней энергии , где = m 0á V 2ñ/2 определяется средним квадратом скорости. Свяжем теперь число шагов N со временем t, за которое они совершены. Для этого нужно ввести время одного шага τ. В среднем τ = t / N. С другой стороны, среднее время одного смещения (шага) τ можно определить из длины свободного пробега: l = á V ñτ. (4.22) Время τ — это время между двумя столкновениями (на прямой это время между двумя поворотами). Число столкновений в единице времени (4.23) Подставляя N = t /τ в формулу среднего квадрата смещения, получим (4.24) Отсюда видно, что коэффициент пропорциональности между средним квадратом смещения (но не квадратом среднего смещения, который равен нулю) и временем, за которое это смещение происходит, является коэффициентом диффузии (4.25) Среднее (среднеквадратичное) смещение молекулдиффузией будет (4.26) Числовой множитель определяется «размерностью» пространства, в котором происходят блуждания. При блужданиях на плоскости будет D = á V ñ l /2, а в трехмерном пространстве пришли бы к выведенному ранее значению D = á V ñ l /3. Полученная формула позволяет оценить, насколько отклонится от начального положения точка при случайном блуждании. Обычный «пешеход» продвигается не спеша с V = 3,6 км/час = 1 м/с, но широким шагом l = 1 м. За t = 1 ч пешеход уйдет на расстояние х = 3600 м, т. е. далеко. Но не очень «трезвый» гражданин, совершая случайные блуждания на плоскости, уйдет в случайном направлении на расстояние . Это не далеко. Именно в соответствии с формулой, описывающей случайные блуждания, медленно распространяются запахи, хотя скорости движения молекул огромны. Как говорится, на кухне все давно сгорело, а в комнате еще и не пахнет жареным. Почему? По законам диффузного движения — случайных блужданий. Теплопроводность
На основе изложенных в п. 4.3 элементов общей теории процессов переноса рассмотрим явление теплопроводности. Это явление полностью подобно диффузии, но передается не частица сама по себе, а ее энергия. Так как температура — мера средней кинетической энергии, то молекулы с большой энергией при наличии пространственной неоднородности температуры «диффундируют» в области молекул с меньшими скоростями, и протекает поток тепла, аналогичный потоку частиц при диффузии. Итак, теплопроводность — это явление протекания теплоты Q (внутренней энергии U в изохорном процессе (условиях)) от более нагретых тел (частей) к менее нагретым, происходящее без изменения молекулярного состава этих тел (рис. 4.4). Потока частиц нет. Сколько молекул переходит «справа налево», столько же переходит и «слева направо». Происходит выравнивание температуры. Можно сказать, что теплопроводность это явление выравнивания температуры. Рис. 4.4. К объяснению закона теплопроводности. Т+ = Т 0 + D Т = Т 0 + l tgα Аналогия с диффузией очевидна. Тепловой поток q вычисляется как (4.27) Тепловой поток определяется как количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади в направлении, перпендикулярном этой площади. Закон теплопроводности (закон Фурье) гласит: тепловой поток пропорционален скорости изменения (градиенту) температуры в этом направлении. (4.28) Коэффициент пропорциональности χ (читается «хи») называется коэффициентом теплопроводности. Размерность коэффициента теплопроводности будет: [χ] = Дж/(мс ⋅ К) = кг ⋅ м/(с3 ⋅ К). Можно выразить коэффициент теплопроводности через характеристики газа (характеристики молекулярного движения). Для этого необходимо ввести внутренние энергии единицы объема справа и слева U+/ V и U –/ V и умножить их на объем, из которого молекулы за время Δ t успеют долететь до выделенного сечения, имеющего температуру t 0. Для упрощения вычислений удобно внутреннюю энергию выражать не через молярную теплоемкость и количество вещества U = сV ν T, а через удельную теплоемкость и массу U ± = cm [ T ± l (dT / dx)]. При вычислении объема, из которого молекулы «долетают», важно отметить, что хотя температуры по разные стороны сечения теперь не одинаковы, при небольших их изменениях можно использовать и для объема «справа», и для объема «слева» одну и ту же скорость á V ñ. Тогда (4.29) Откуда коэффициент теплопроводности (4.30) Для жидкостей и твердых тел закон пропорциональности теплового потока и температурного градиента полностью сохраняется, а коэффициент теплопроводности характеризует конкретное вещество и является табличной величиной. Часто вместо коэффициента теплопроводности вводят величину коэффициента температуропроводности κ (читается «каппа»). (4.31) Размерность коэффициента температуропроводности совпадает с размерностью коэффициента диффузии. Окончательно закон Фурьеимеет вид (4.32) Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|