Когда данное число лежит между корнями квадратного уравнения

Расположение корней квадратного трехчлена

1. При каких значениях число –2 лежит между корнями уравнения Решение. Составим неравенство . Для этого найдем . Получим неравенство Ответ: .

2. При каких корни уравнения удовлетворяют условию Решение. Эта задача представляет собой немного усложненный вариант предыдущей задачи. Здесь между корнями должны лежать две точки, а не одна. Значит, включаем в систему два неравенства: , или . Изображаем решения неравенств на двух числовых прямых (рис. 3). Ответ: .

3.

4. При каких из неравенства следует неравенство ? Решение. Условие означает, что для всех выполняется неравенство , т. е. отрезок лежит между корнями уравнения . Так как старший коэффициент в данном случае положителен, то достаточно, чтобы выполнялись неравенства . Получаем систему . Ответ:

5. При каких неравенство выполняется для всех ? Решение. Данное неравенство равносильно неравенству . Так как старший коэффициент в данном случае положителен, то отрезок должен лежать между корнями уравнения , а для этого достаточно, чтобы выполнялись неравенства . Получаем систему . Ответ: .

Когда корни уравнения лежат по одну сторону от данного числа

Здесь также существует схема решения, не требующая нахождения корней, но она довольно громоздкая. При положительном старшем коэффициенте (рис. 4) требуем, чтобы 1) в точке функция была положительной: 2) абсцисса вершины параболы лежала по ту же сторону от числа , что и корни; 3) корни существовали, т. е. выполнялось условие . В случае отри цательного старшего коэффициента (рис. 5) условие 1) заменяем на противоположное: . Если не требуется, чтобы корни были обязательно различными, то отдельно надо разобрать случай, когда старший коэффициент равен 0. При этом находим корень и выясняем его положение относительно числа Таким образом, если старший коэффициент зависит от параметра, то приходится решать две системы, содержащие по четыре неравенства, что представляет собой немалую работу: или . Правда, эти две системы можно объединить в одну, заменив первое и третье неравенства одним: , т. е. решать систему . В каждом конкретном случае нужно подумать, не проще ли найти корни и решить соответствующие неравенства. Есть смысл это сделать в двух случаях. Во-первых, когда дискриминант является полным квадратом, и, следовательно, корни не содержат радикалов. Во-вторых, когда старший коэффициент не зависит от параметра. В этом случае сразу известно, какой из корней больше: тот, в котором радикал со знаком «+». Поэтому придется решать только одно неравенство: если требуется, чтобы оба корня были меньше числа , то меньше должен быть больший корень, если оба корня больше , то больше должен быть меньший корень. В некоторых случаях применим и третий способ решения. Он состоит в следующем: из уравнения выражаем параметр и стоим график полученной функции. Абсциссы точек пересечения этого графика и прямой — это корни исходного уравнения при данном значении . По графику обычно бывает видно, при каких значениях параметра корни расположены нужным образом. Способ удобно применять тогда, когда параметр достаточно просто выражается через . Особенно эффективен этот способ в задачах с набором из нескольких условий.

Иногда в задачах этого типа требуется, чтобы корни были обязательно различными. Тогда в системе заменяем неравенство на .

6. При каких корни уравнения больше ? Решение. Воспользуемся схемой. Получим систему неравенств , имеющую вид В условии задачи не говорится, что корни должны быть различны, поэтому мы не исключили случай, когда . Не забудем также случай, когда старший коэффициент равен 0: . Значит, данное значение параметра не подходит. Ответ:

Заметим, что решение, использующее нахождение корней, здесь выглядит менее рациональным. Решая уравнение при , получаем . Решать два иррациональных неравенства, да еще с переменным знаменателем — большая работа.

7. При каких значениях оба корня уравнения больше 3? Решение. Найдем корни уравнения: . Здесь уже есть смысл решить иррациональное неравенство. Достаточно потребовать, чтобы меньший корень был больше 3: . Из формулировки неясно, «оба корня» — это обязательно различные корни, или допустимы и равные корни. Но в данном случае равные корни получаются при , а это значение все равно не вошло в ответ, так что можем над этим вопросом не задумываться. Ответ: .

8. При каких оба корня уравнения принадлежат отрезку ? Решение. Приведем решение «по схеме»: . Равные корни получаются при . Поскольку опять неясно, обязательно ли корни различны, запишем ответ следующим образом: при в отрезке лежат два различных корня уравнения, при уравнение имеет кратный корень , лежащий в этом отрезке. Ответ: при два различных корня, при кратный корень.

9. При каких корни уравнения удовлетворяют неравенствам ? Решение. Условие будет выполнено тогда и только тогда, когда , где . При этом проверки существования корней производить не нужно, они обязательно существуют. Таким образом, получаем неравенство . Условие проще записать непосредственно: . Решая это неравенство, получаем . Окончательно, . Ответ: .

10. При каких оба корня уравнения лежат в промежутке (–4; 0)? Решение. Рассмотри на данном примере все три способы решения.

Выделение параметра. Решив уравнение относительно , получим . Построим график функции (рис. 6). Преобразуем функцию таким образом: . Находим нули функции: , значение в точке 0 . Проводим вертикальную асимптоту . Найдем производную . Так как производная отрицательна во всех точках области определения, то функция убывает на промежутках и . Вычислим значение . По чертежу видно, что оба корня уравнения лежат в промежутке (–4; 0) тогда и только тогда, когда .

1) Нахождение корней. Решим уравнение: . Потребуем, чтобы больший корень был меньше 0, а меньший — больше –4. Получим систему неравенств . Решаем отдельно первое неравенство системы: оно равносильно системе: . Решение второго неравенства . Получаем систему .

2) Решение «по схеме». Для нужного расположения корней потребуем 1) чтобы вершина параболы лежала между точками –4 и 0; 2) чтобы значения функции в точках –4 и 0 были положительны; 3) чтобы корни существовали. Получим систему . Ответ: .

11. При каких уравнение имеет хотя бы один корень меньше 1? Решение. Решим эту задачу также тремя способами.1) Непосредственное нахождение корней. Решаем уравнение: . По условию меньший корень должен быть меньше 1. Решаем неравенство , равносильное совокупности двух систем: . Ответ: .

2) Решение «по схеме». Сложность в том, что в данном случае постановка задачи не соответствует нашей «схеме». Поэтому мы сначала ответим на другой, противоположный вопрос: при каких уравнение не имеет ни одного корня меньше 1? Это возможно в двух случаях: во-первых, когда корней нет вообще, во-вторых, когда все корни больше или равны 1. Найдем дискриминант: . Так как уравнение не имеет корней, то для всех , следовательно, уравнение имеет корни при всех значениях . Теперь рассмотрим, когда все корни больше или равны 1. Получим систему (условие уже не включаем в систему, так как знаем, что оно всегда выполняется). Итак, решаем систему . Итак, все корни больше или равны 1 при . Так как при любых корни существуют, то при хотя бы один корень меньше 1. Ответ: .

3) Выделение параметра. Выражаем из уравнения параметр: . Строим график данной функции (рис. 7). Находим нули функции: , значение в точке 0 . Проводим вертикальную асимптоту . Найдем производную . Так как производная положительна во всех точках области оп ределения, то функция возрастает на промежутках и . На графике изображена еще одна, наклонная, асимптота , но для решения задачи ее изображение не обязательно. По графику видно, что при имеется корень меньше 1. Ответ: .

12. При каких корни уравнения по абсолютной величине не превосходят 1? Решение. В данном случае проще решить это уравнение: Получаем . Случай, когда , нужно рассмотреть отдельно: получаем при этом , т. е. значение подходит. Ответ:

13. При каких уравнение имеет хотя бы одно решение больше 1? Решение. Решим уравнение при : , . Значит, должно выполняться неравенство . Отдельно рассматриваем случай . Ответ:

Приведем другое решение. Можно выразить . По графику (рис. 8) видно, что решений, не превосходящих 1, нет только при . Ответ:

14. При каких уравнение имеет в промежутке а) хотя бы один корень; б) ровно один корень; в) два различных корня? Решение. В данном случае гораздо выгоднее решение, основанное на выделении параметра, поскольку параметр выражается очень просто: как квадратичная функция от . Строим график функции (рис. 9). Так как а наименьшее значение функции равно , то получаем такой ответ: а) б в) Ответ: а) б) в)

15. При каких уравнение имеет корни Решение. Проще решить уравнение относительно : . Отсюда , или Ответ: .

16. При каких решения системы удовлетворяют условию Решение. Задача равносильна следующей: при каких корни уравнения лежат в промежутке (–1; 1)? Уравнение можно решить относительно : . Отсюда Ответ: .

17. При каких значениях неравенство выполняется хотя бы при одном из отрезка ? Решение. Рассмотрим неравенство как квадратное относительно : . Проще сначала ответить на противоположный вопрос: при каких неравенство неверно на всем отрезке , или на всем отрезке . Мы знаем, что для этого нужно потребовать выполнения неравенства на концах отрезка: и . Преобразовав этим неравенства, получим и , т. е. . Нам же нужно взять остальные значения: . Ответ: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: